Soit \(G\) un groupe et \(S\) une partie de \(G\).
1
Montrer que \(H:= \{ a_{i_1}^{\epsilon_1}... a_{i_n}^{\epsilon _n}, a_i \in S, \epsilon_i \in \{-1,+1\} \}\) est le sous-groupe engendré par \(S\) (i.e le plus petit sous-groupe de \(G\) contenant \(S\)), noté \(<S>\).
2
Soit \(A\) une partie de \(G\), on appelle centralisateur de \(A\), l’ensemble : \(C_A:= \{g\in G : \forall a \in A \ ga=ag\}\).
3
Montrer que \(C_A\) est un sous-groupe de \(G\).
4
Montrer que \(C_A= C_{<A>}\)