Supposons que la fraction soit réductible. Alors, il existe \(p,q,d\in\Zz\) tels que \[\begin{cases} 11n+2m&=pd\\ 18n+5m&=qd\\ \end{cases}\] On en déduit que \[\begin{cases} 19n&=5pd-2qd\\ 19m&=-18pd+1qd\\ \end{cases}\] En particulier, \(d|19n\) et \(d|19m\). Si \(d\neq19\), on a \(\pgcd(n,m)\neq 1\). Si \(d=19\), alors \[\begin{equation}\label{eq:n=5p-2q...} \begin{cases} n&=5p-2q\\ m&=-18p+1q\\ \end{cases} \end{equation}\] Réciproquement, si \(\pgcd(n,m)\neq1\) ou si \(n,m\) sont de la forme donnée par [eq:n=5p-2q...], alors la fraction est réductible.

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