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Montrer que les modules des coefficients du développement de $f$ en série entière au voisinage de 0 sont majorés par $M$.

Utiliser 1. pour montrer que, si l’on pose $g(z)=f(z)-z$, on a $$\vert g'(z)\vert\le{M\over (1-r)^2}-M,{\rm \ si\ }\vert z\vert \le r<1.$$ En déduire l’existence d’un réel $\rho$, $0<\rho <1$, dépendant seulement de M, tel que l’on ait $$\vert g'(z)\vert <1{\rm \ si\ }\vert z\vert <\rho .$$

Montrer alors que la restriction de $f$ au disque ouvert $D(0,\rho )$ est injective (on pourra, pour $z_1$ et $z_2$ appartenant au disque ouvert $D(0,\rho )$, exprimer $g(z_1)-g(z_2)$ sous forme d’une intégrale).