Soit \(f\) une fonction holomorphe et bornée dans le disque ouvert \(D(0,1)\), vérifiant \(f(0)=0\) et \(f'(0)=1\). On pose \(M=\sup_{\vert z\vert <1}\vert f(z)\vert\).
Montrer que les modules des coefficients du développement de \(f\) en série entière au voisinage de 0 sont majorés par \(M\).
Utiliser 1. pour montrer que, si l’on pose \(g(z)=f(z)-z\), on a \[\vert g'(z)\vert\le{M\over (1-r)^2}-M,{\rm \ si\ }\vert z\vert \le r<1.\] En déduire l’existence d’un réel \(\rho\), \(0<\rho <1\), dépendant seulement de M, tel que l’on ait \[\vert g'(z)\vert <1{\rm \ si\ }\vert z\vert <\rho .\]
Montrer alors que la restriction de \(f\) au disque ouvert \(D(0,\rho )\) est injective (on pourra, pour \(z_1\) et \(z_2\) appartenant au disque ouvert \(D(0,\rho )\), exprimer \(g(z_1)-g(z_2)\) sous forme d’une intégrale).