Méthode 2 : par les dérivées successives.

$\begin{array}{rlrl} P(X) & =X^5-5 X^4+14 X^3-22 X^2+17 X-5 & P(1) & =0 \\ P^{\prime}(X) & =5 X^4-20 X^3+42 X^2-44 X+17 & P^{\prime}(1) & =0 \\ P^{\prime \prime}(X) & =20 X^3-60 X^2+84 X-44 & P^{\prime \prime}(1) & =0 \\ P^{(3)}(X) & =60 X^2-120 X+84 & P^{(3)}(1) & =4 \neq 0 \end{array}$ Donc 1 est racine de multiplicité 3 de $P(X)$ . Autrement dit, $P(X)$ est divisible par $(X-1)^3$ On effectue la division euclidienne de $P(X)$ par $(X-1)^3=X^3-3 X^2+3 X-1$ , il vient : $\begin{array}{r|r} X^5-5 X^4+14 X^3-22 X^2+17 X-5 & X^3-3 X^2+3 X-1 \\ -\left(X^5-3 X^4+3 X^3-X^2\right) & X^2-2 X+5 \\ \hline-2 X^4+11 X^3-21 X^2+17 X-5 & \\ -\left(-2 X^4+6 X^3-6 X^2+2 X\right) & \\ \hline 5 X^3-15 X^2+15 X-5 & \\ -\left(5 X^3-15 X^2+15 X-5\right) & \\ \hline X^5-X^4-X^3-X^2+4 X-2=\left(X^3-3 X^2+3 X-1\right)\left(X^2-2 X+5\right) \\ =(X-1)^3\left(X^2-2 X+5\right) \end{array}$ Il reste à factoriser $X^2-2 X+5$ , polynôme du second degré dont le discriminant est: $\Delta=(-2)^2-4 \times 1 \times 5=-16<0$ . La factorisation en produit de polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}[X]:$ $P(X)=(X-1)^3\left(X^2-2 X+5\right)$ Les racines complexes conjuguées de $X^2-2 X+5$ sont $z=\frac{2 \pm(4 i)}{2}=1 \pm 2 i$ . La factorisation en produit de polynômes irréductibles sur $\mathbb{C}[X]$ : $P(X)=(X-1)^3(X-1-2 i)(X-1+2 i)$

Multiplicité d'une racine