Méthode 2 : par les dérivées successives.

\[\begin{array}{rlrl} P(X) & =X^5-5 X^4+14 X^3-22 X^2+17 X-5 & P(1) & =0 \\ P^{\prime}(X) & =5 X^4-20 X^3+42 X^2-44 X+17 & P^{\prime}(1) & =0 \\ P^{\prime \prime}(X) & =20 X^3-60 X^2+84 X-44 & P^{\prime \prime}(1) & =0 \\ P^{(3)}(X) & =60 X^2-120 X+84 & P^{(3)}(1) & =4 \neq 0 \end{array}\] Donc 1 est racine de multiplicité 3 de \(P(X)\). Autrement dit, \(P(X)\) est divisible par \((X-1)^3\) On effectue la division euclidienne de \(P(X)\) par \((X-1)^3=X^3-3 X^2+3 X-1\), il vient : \[\begin{array}{r|r} X^5-5 X^4+14 X^3-22 X^2+17 X-5 & X^3-3 X^2+3 X-1 \\ -\left(X^5-3 X^4+3 X^3-X^2\right) & X^2-2 X+5 \\ \hline-2 X^4+11 X^3-21 X^2+17 X-5 & \\ -\left(-2 X^4+6 X^3-6 X^2+2 X\right) & \\ \hline 5 X^3-15 X^2+15 X-5 & \\ -\left(5 X^3-15 X^2+15 X-5\right) & \\ \hline X^5-X^4-X^3-X^2+4 X-2=\left(X^3-3 X^2+3 X-1\right)\left(X^2-2 X+5\right) \\ =(X-1)^3\left(X^2-2 X+5\right) \end{array}\] Il reste à factoriser \(X^2-2 X+5\), polynôme du second degré dont le discriminant est: \(\Delta=(-2)^2-4 \times 1 \times 5=-16<0\). La factorisation en produit de polynômes irréductibles sur \(\mathbb{R}[X]:\) \[P(X)=(X-1)^3\left(X^2-2 X+5\right)\] Les racines complexes conjuguées de \(X^2-2 X+5\) sont \(z=\frac{2 \pm(4 i)}{2}=1 \pm 2 i\). La factorisation en produit de polynômes irréductibles sur \(\mathbb{C}[X]\) : \[P(X)=(X-1)^3(X-1-2 i)(X-1+2 i)\]

Multiplicité d'une racine