Montrer que l’application \[\begin{array}{cccc}h : &\Rr^3&\to& H_0\\ &(x_1,x_2, x_3)&\mapsto&\left( \begin{array}{cc} x_3&x_1+ix_2\\x_1-ix_2&-x_3 \end{array}\right)\end{array}\] est un isomrphisme entre \(\Rr^3\) et le \(\Rr\)-espace vectoriel \(H_0\) des matrices hermitiennes de trace nulle.
Montrer que le groupe \(SU(2)\) agit sur \(H_0\) par conjuguaison.
Par l’isomorphisme \(h\), cette action permet de définir une action de \(SU(2)\)sur \(\Rr^3\). Montrer que cette action est par isométrie de déterminant \(1\). (On pourra utiliser la connexité de \(SU(2)\) homéomorphe à \(S^3\) sphère unité du corps des quaternions.). En déduire un homomorphisme \(\phi\) de \(SU(2)\) dans \(SO(3)\).
Montrer que les seules matrices de \(SU(2)\) qui commutent à tous les éléments de \(H_0\) sont \(Id\) et \(-Id\). En déduire le noyau de \(\phi\).
En utilisant les formes réduites des matrices de \(SO(3)\), montrer que l’application exponentielle de l’espace \(so(3)\) des matrices anti-symétriques réelles \(3\times 3\) (de trace nulle) sur \(SO(3)\) est surjective.
En utilisant la diagonalisation des matrices unitaires dans une base orthonormée pour le produit scalaire hermitien standard sur \(\Cc^2\), montrer que l’application exponentielle de l’espace \(su(2)\) des matrices anti-hermitiennes de trace nulle sur \(SU(2)\) est surjective.
Déterminer l’image par \(\phi\) des matrices ( avec \(a,b,c\in\Rr\)) \[\exp \left( \begin{array}{cc} ia&0\\ 0&-ia \end{array}\right) \ ;\ \exp \left( \begin{array}{cc} 0&b\\ -b&0 \end{array}\right) \ ;\ \exp \left( \begin{array}{cc} 0&ic\\ ic&0 \end{array}\right)\] En déduire que \(\phi\) est surjective.