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Montrer que l’application $$\begin{array}{cccc}h : &\Rr^3&\to& H_0\\ &(x_1,x_2, x_3)&\mapsto&\left( \begin{array}{cc} x_3&x_1+ix_2\\x_1-ix_2&-x_3 \end{array}\right)\end{array}$$ est un isomrphisme entre $\Rr^3$ et le $\Rr$-espace vectoriel $H_0$ des matrices hermitiennes de trace nulle.

Montrer que le groupe $SU(2)$ agit sur $H_0$ par conjuguaison.

Par l’isomorphisme $h$, cette action permet de définir une action de $SU(2)$sur $\Rr^3$. Montrer que cette action est par isométrie de déterminant $1$. (On pourra utiliser la connexité de $SU(2)$ homéomorphe à $S^3$ sphère unité du corps des quaternions.). En déduire un homomorphisme $\phi$ de $SU(2)$ dans $SO(3)$.

Montrer que les seules matrices de $SU(2)$ qui commutent à tous les éléments de $H_0$ sont $Id$ et $-Id$. En déduire le noyau de $\phi$.

En utilisant les formes réduites des matrices de $SO(3)$, montrer que l’application exponentielle de l’espace $so(3)$ des matrices anti-symétriques réelles $3\times 3$ (de trace nulle) sur $SO(3)$ est surjective.

En utilisant la diagonalisation des matrices unitaires dans une base orthonormée pour le produit scalaire hermitien standard sur $\Cc^2$, montrer que l’application exponentielle de l’espace $su(2)$ des matrices anti-hermitiennes de trace nulle sur $SU(2)$ est surjective.

Déterminer l’image par $\phi$ des matrices ( avec $a,b,c\in\Rr$) $$\exp \left( \begin{array}{cc} ia&0\\ 0&-ia \end{array}\right) \ ;\ \exp \left( \begin{array}{cc} 0&b\\ -b&0 \end{array}\right) \ ;\ \exp \left( \begin{array}{cc} 0&ic\\ ic&0 \end{array}\right)$$ En déduire que $\phi$ est surjective.