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Soient $0 < a < b$ et $(x_n),(y_n)$ les suites définies par : $\begin{cases}x_0 = a\cr y_0 = b\cr\end{cases}$ et $\begin{cases}x_{n+1} = \frac {x_n+y_n}2 \cr y_{n+1} = \sqrt{ x_{n+1}y_n }.\cr\end{cases}$

Montrer que ces suites convergent vers la même limite.

On pose $a = b\cos\varphi$ . Exprimer cette limite en fonction de $b$ et $\varphi$ .