Notons \((\Delta)\) une éventuelle droite solution. \((\Delta)\) est sécante à \((D_1)\) et \((D_2)\) si et seulement si \((\Delta)\) passe par un point de la forme \((1,0,a)\) et par un point de la forme \((b,1,0)\) ou encore si et seulement si \((\Delta)\) passe par un point de la forme \((1,0,a)\) et est dirigée par un vecteur de la forme \((b-1,1,-a)\). Ainsi, \((\Delta)\) est sécante à \((D_1)\) et \((D_2)\) si et seulement si \((\Delta)\) admet un système d’équations paramétriques de la forme \(\left\{ \begin{array}{l} x=1+\lambda(b-1)\\ y=\lambda\\ z=a-\lambda a \end{array} \right.\) ou encore un système d’équations cartésiennes de la forme \(\left\{ \begin{array}{l} x-(b-1)y=1\\ ay+z=a \end{array} \right.\).

Ensuite, \((\Delta)\) et \((D_3)\) sécantes \(\Leftrightarrow\exists y\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} -(b-1)y=1\\ ay+1=a \end{array} \right.\Leftrightarrow b\neq 1\;\text{et}\;-\frac{a}{b-1}+1=a\Leftrightarrow b\neq0\;\text{et}\;b\neq1\;\text{et}\;a=1-\frac{1}{b}\). En résumé, les droites sécantes à \((D_1)\), \((D_2)\) et \((D_3)\) sont les droites dont un système d’équations cartésiennes est

\(\left\{ \begin{array}{l} x-(b-1)y=1\\ \left(1-\frac{1}{b}\right)y+z=1-\frac{1}{b} \end{array} \right.\), \(b\notin\{0,1\}\).

Enfin,

\[\begin{align*}\ensuremath (\Delta)\;\text{et}\;(D)\;\text{sécantes}&\Leftrightarrow\exists(x,y,z)\in\Rr^3/\;\left\{ \begin{array}{l} x-(b-1)y=1\\ \left(1-\frac{1}{b}\right)y+z=1-\frac{1}{b}\\ x=y=-6z \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\exists(x,y,z)\in\Rr^3/\;\left\{ \begin{array}{l} -6z+6(b-1)z=1\\ -6\left(1-\frac{1}{b}\right)z+z=1-\frac{1}{b}\\ x=y=-6z \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow b\notin\{0,1,2\}\;\text{et}\;-6\left(1-\frac{1}{b}\right)\frac{1}{6(b-2)}+\frac{1}{6(b-2)}=1-\frac{1}{b}\\ &\Leftrightarrow b\notin\{0,1,2\}\;\text{et}\;-6(b-1)+b=6(b-1)(b-2)\Leftrightarrow b\notin\{0,1,2\}\;\text{et}\;6b^2-13b+6=0\\ &\Leftrightarrow b\in\left\{\frac{2}{3},\frac{3}{2}\right\}. \end{align*}\]

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