Notons $(\Delta)$ une éventuelle droite solution. $(\Delta)$ est sécante à $(D_1)$ et $(D_2)$ si et seulement si $(\Delta)$ passe par un point de la forme $(1,0,a)$ et par un point de la forme $(b,1,0)$ ou encore si et seulement si $(\Delta)$ passe par un point de la forme $(1,0,a)$ et est dirigée par un vecteur de la forme $(b-1,1,-a)$ . Ainsi, $(\Delta)$ est sécante à $(D_1)$ et $(D_2)$ si et seulement si $(\Delta)$ admet un système d’équations paramétriques de la forme $\left\{ \begin{array}{l} x=1+\lambda(b-1)\\ y=\lambda\\ z=a-\lambda a \end{array} \right.$ ou encore un système d’équations cartésiennes de la forme $\left\{ \begin{array}{l} x-(b-1)y=1\\ ay+z=a \end{array} \right.$ .

Ensuite, $(\Delta)$ et $(D_3)$ sécantes $\Leftrightarrow\exists y\in\Rr/\;\left\{ \begin{array}{l} -(b-1)y=1\\ ay+1=a \end{array} \right.\Leftrightarrow b\neq 1\;\text{et}\;-\frac{a}{b-1}+1=a\Leftrightarrow b\neq0\;\text{et}\;b\neq1\;\text{et}\;a=1-\frac{1}{b}$ . En résumé, les droites sécantes à $(D_1)$ , $(D_2)$ et $(D_3)$ sont les droites dont un système d’équations cartésiennes est

$\left\{ \begin{array}{l} x-(b-1)y=1\\ \left(1-\frac{1}{b}\right)y+z=1-\frac{1}{b} \end{array} \right.$ , $b\notin\{0,1\}$ .

Enfin,

$\begin{align*}\ensuremath (\Delta)\;\text{et}\;(D)\;\text{sécantes}&\Leftrightarrow\exists(x,y,z)\in\Rr^3/\;\left\{ \begin{array}{l} x-(b-1)y=1\\ \left(1-\frac{1}{b}\right)y+z=1-\frac{1}{b}\\ x=y=-6z \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\exists(x,y,z)\in\Rr^3/\;\left\{ \begin{array}{l} -6z+6(b-1)z=1\\ -6\left(1-\frac{1}{b}\right)z+z=1-\frac{1}{b}\\ x=y=-6z \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow b\notin\{0,1,2\}\;\text{et}\;-6\left(1-\frac{1}{b}\right)\frac{1}{6(b-2)}+\frac{1}{6(b-2)}=1-\frac{1}{b}\\ &\Leftrightarrow b\notin\{0,1,2\}\;\text{et}\;-6(b-1)+b=6(b-1)(b-2)\Leftrightarrow b\notin\{0,1,2\}\;\text{et}\;6b^2-13b+6=0\\ &\Leftrightarrow b\in\left\{\frac{2}{3},\frac{3}{2}\right\}. \end{align*}$

Les droites solutions sont $(\Delta_1)$ : $\left\{ \begin{array}{l} 3x+y=3\\ y-2z=1 \end{array} \right.$ et $(\Delta_2)$ : $\left\{ \begin{array}{l} 2x-y=2\\ y+3z=1 \end{array} \right.$ .

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