Déterminons un repère de $(D)$ .

$\left\{ \begin{array}{l} x+y-3z+4=0\\ 2x-z+1=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y-3z=-x-4\\ z=2x+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=5x-1\\ z=2x+1 \end{array} \right.$

Un repère de $(D)$ est $\left(A,\overrightarrow{u}\right)$ où $A(0,-1,1)$ et $\overrightarrow{u}(1,5,2)$ . Puisque un système d’équations de $(D')$ est $\left\{ \begin{array}{l} x=z-1\\ y=z-1 \end{array} \right.$ , un repère de $(D')$ est $\left(A',\overrightarrow{u'}\right)$ où $A'(-1,-1,0)$ et $\overrightarrow{u'}(1,1,1)$ . $\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{u'}=\left( \begin{array}{c} 1\\ 5\\ 2 \end{array} \right)\wedge\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 3\\ 1\\ -4 \end{array} \right)\neq\overrightarrow{0}$ .

Puisque $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u'}$ ne sont pas colinéaires, les droites $(D)$ et $(D')$ ne sont parallèles. Ceci assure l’unicité de la perpendiculaire commune à $(D)$ et $(D')$ .

Un système d’équations de la perpendiculaire commune est $\left\{ \begin{array}{l} \left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{u'}\right]=0\\ \rule{0mm}{6mm}\left[\overrightarrow{A'M},\overrightarrow{u'},\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{u'}\right]=0 \end{array} \right.$ . Or,

$\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{u'}\right]=\left| \begin{array}{ccc} x&1&3\\ y+1&5&1\\ z-1&2&-4 \end{array} \right|=-22x+10(y+1)-14(z-1)=-22x+10y-14z+24$ ,

et

$\left[\overrightarrow{A'M},\overrightarrow{u'},\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{u'}\right]=\left| \begin{array}{ccc} x+1&1&3\\ y+1&1&1\\ z&1&-4 \end{array} \right|=-5(x+1)+7(y+1)-2z=-5x+7y-2z+2$ .

Donc

un système d’équations cartésienne de la perpendiculaire commune à

(D)

et

(D')

est

\left\{ \begin{array}{l} 11x-5y+7z=12\\ 5x-7y+2z=2 \end{array} \right.

.

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