exo7 1951

Déterminer la série de Fourier de $f$.

Calculer $\displaystyle{ \int _{-\pi}^\pi \vert x\vert ^2dx}$. En déduire la valeur de $\displaystyle{ \sum _{p=0} ^{\infty } \frac{1}{(2p+1)^4}}.$

Calculer $\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^4}}$.

Montrer que $\vert x\vert = \displaystyle{\frac{\pi }{2} -\frac{4}{\pi} \sum _{p=0}^\infty \frac{ \cos (2p+1)x }{(2p+1)^2}}$. En déduire les valeurs de $\displaystyle{ \sum _{p=0}^\infty \frac{1}{(2p+1)^2}}$ puis $\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^2}}$.