Soit \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique sur \(\Rr\) telle que \(f(x)=\vert x \vert\) si \(\vert x \vert \leq \pi .\)
1
Déterminer la série de Fourier de \(f\).
2
Calculer \(\displaystyle{ \int _{-\pi}^\pi \vert x\vert ^2dx}\). En déduire la valeur de \(\displaystyle{ \sum _{p=0} ^{\infty } \frac{1}{(2p+1)^4}}.\)
3
Calculer \(\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^4}}\).
4
Montrer que \(\vert x\vert = \displaystyle{\frac{\pi }{2} -\frac{4}{\pi} \sum _{p=0}^\infty \frac{ \cos (2p+1)x }{(2p+1)^2}}\). En déduire les valeurs de \(\displaystyle{ \sum _{p=0}^\infty \frac{1}{(2p+1)^2}}\) puis \(\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^2}}\).