Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Plancherel.
Définition. Soient \(f, g\in L^1(\mathbb{R}^n)\). On note \(\hat{f}\) la transformée de Fourier définie par \[\hat{f}(y) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,e^{-2\pi i (y, x)} \,dx,\] où \((\cdot, \cdot)\) désigne le produit scalaire de \(\mathbb{R}^n.\)
Théorème de Plancherel. Si \(f \in L^{1}(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^{n})\), alors \(\|\hat{f}\|_{2} = \| f\|_{2}\).
Soit \(f \in L^{1}(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^{n})\).
Montrer que \(\|\hat{f}\|_{\infty}\leq \|f\|_{1}\).
Montrer que la fonction \(g_{\varepsilon}(k) = |\hat{f}(k)|^2 \,e^{-\varepsilon\pi|k|^2}\) appartient à \(L^{1}(\mathbb{R}^{n})\).
Montrer que \[\int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \int_{\mathbb{R}^{3n}} \bar{f}(x) f(y) e^{2\pi i (k, x-y)} e^{-\varepsilon \pi |k|^2}\,dx dy dk.\]
Sachant que la transformée de Fourier de la gaussienne \(h_{\varepsilon}(x) = e^{-\pi \varepsilon |x|^2}\) (\(\varepsilon>0\), \(x\in\mathbb{R}^n\)) est donnée par \(\hat{h}_{\varepsilon}(k) = {\varepsilon}^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\pi|k|^2}{\varepsilon}}\), montrer que \[\int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \int_{\mathbb{R}^{2n}}{\varepsilon}^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\pi|x-y|^2}{\varepsilon}} \bar{f}(x) f(y) \,dx dy.\]
Soit \(\{s_{\varepsilon}\}_{\varepsilon>0}\) la famille de fonctions définies par : \[s_{\varepsilon} = \int_{\mathbb{R}^n} {\varepsilon}^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\pi|x-y|^2}{\varepsilon}} \bar{f}(x)\,dx.\] Quelle est la limite dans \(L^{2}(\mathbb{R}^{n})\) de \(s_{\varepsilon}\) lorsque \(\varepsilon\) tend vers \(0\)?
Montrer que \[\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \int_{\mathbb{R}^{n}} (\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}s_{\varepsilon}) f(y) \,dy.\]
Montrer que \(\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \|\hat{f}\|_{2}^2\).
En déduire que \(\|\hat{f}\|_{2} = \| f\|_{2}\).