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Montrer que $\|\hat{f}\|_{\infty}\leq \|f\|_{1}$.

Montrer que la fonction $g_{\varepsilon}(k) = |\hat{f}(k)|^2 \,e^{-\varepsilon\pi|k|^2}$ appartient à $L^{1}(\mathbb{R}^{n})$.

Montrer que $$\int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \int_{\mathbb{R}^{3n}} \bar{f}(x) f(y) e^{2\pi i (k, x-y)} e^{-\varepsilon \pi |k|^2}\,dx dy dk.$$

Sachant que la transformée de Fourier de la gaussienne $h_{\varepsilon}(x) = e^{-\pi \varepsilon |x|^2}$ ($\varepsilon>0$, $x\in\mathbb{R}^n$) est donnée par $\hat{h}_{\varepsilon}(k) = {\varepsilon}^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\pi|k|^2}{\varepsilon}}$, montrer que $$\int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \int_{\mathbb{R}^{2n}}{\varepsilon}^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\pi|x-y|^2}{\varepsilon}} \bar{f}(x) f(y) \,dx dy.$$

Soit $\{s_{\varepsilon}\}_{\varepsilon>0}$ la famille de fonctions définies par : $$s_{\varepsilon} = \int_{\mathbb{R}^n} {\varepsilon}^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\pi|x-y|^2}{\varepsilon}} \bar{f}(x)\,dx.$$ Quelle est la limite dans $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ de $s_{\varepsilon}$ lorsque $\varepsilon$ tend vers $0$?

Montrer que $$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \int_{\mathbb{R}^{n}} (\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}s_{\varepsilon}) f(y) \,dy.$$

Montrer que $\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \|\hat{f}\|_{2}^2$.

En déduire que $\|\hat{f}\|_{2} = \| f\|_{2}$.