Soit une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur le disque unité du plan, telle que son laplacien \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\) soit nul.
1
Montrer \(\int_{\theta=0}^{2\pi}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,d\theta\) ne dépend pas de \(r\in[0,1]\).
2
Calculer alors \(\iint_{D_r} f(x,y)\,d xd y\) \(D_r\) étant le disque fermé de centre \(0\) et de rayon \(r\).