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Soit $P=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in SU(2)$. Montrer que $c=-\overline{b}, d=\overline{a} \quad \text{ et } \quad \overline{a}a+\overline{b}b=1$ et écrire la forme générale d’une matrice $P$ de $SU(2)$ à l’aide de deux nombres complexes, puis de quatre nombres réels.

En déduire un homéomorphisme de $SU(2)$ sur la sphère unité $S^3$ de $\Cc^2$. (On munit ici $S^3$ de la topologie induite par celle de $\Cc^2$ et $SU(2)$ de la topologie induite par la topologie d’une norme sur l’espace vectoriel $M(2,\Cc)$.)

Soit $-1<c<1$. Décrire topologiquement le sous-espace de $SU(2)$ des matrices de trace $c$, appelé “latitude $c$”.

Montrer que les latitudes sont des classes de conjugaison dans $SU(2)$. (On pourra remarquer que les éléments de $SU(2)$ sont associés à des endomorphismes normaux (i.e. qui commutent avec leur adjoint)).

Quelles sont les autres classes de conjugaison ?

Décrire topologiquement le sous-groupe $D$ des matrices diagonales de $SU(2)$.