Soit \(P=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in SU(2)\). Montrer que \(c=-\overline{b}, d=\overline{a} \quad \text{ et } \quad \overline{a}a+\overline{b}b=1\) et écrire la forme générale d’une matrice \(P\) de \(SU(2)\) à l’aide de deux nombres complexes, puis de quatre nombres réels.
En déduire un homéomorphisme de \(SU(2)\) sur la sphère unité \(S^3\) de \(\Cc^2\). (On munit ici \(S^3\) de la topologie induite par celle de \(\Cc^2\) et \(SU(2)\) de la topologie induite par la topologie d’une norme sur l’espace vectoriel \(M(2,\Cc)\).)
Soit \(-1<c<1\). Décrire topologiquement le sous-espace de \(SU(2)\) des matrices de trace \(c\), appelé “latitude \(c\)”.
Montrer que les latitudes sont des classes de conjugaison dans \(SU(2)\). (On pourra remarquer que les éléments de \(SU(2)\) sont associés à des endomorphismes normaux (i.e. qui commutent avec leur adjoint)).
Quelles sont les autres classes de conjugaison ?
Décrire topologiquement le sous-groupe \(D\) des matrices diagonales de \(SU(2)\).