Soient \(u\) et \(v\) deux endomorphismes diagonalisables de \(E\), qui commutent (c’est à dire tels que \(u\circ v=v\circ u\)). On note \(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{p}\) (resp. \(\mu_{1},\ldots,\mu_{q}\)) les valeurs propres de \(u\) (resp. de \(v\)), et \(F_{1},\ldots,F_{p}\) les espaces propres associés (resp. \(G_{1},\ldots,G_{q}\)).
Montrer que chaque \(G_{j}\) (resp. \(F_{i}\)) est stable par \(u\) (resp. \(v\)) (c’est à dire que \(u(G_{j})\subset G_{j}\)).
On pose \(H_{ij}=F_{i}\cap G_{j}\). Soit \(i\in\{1,\ldots,p\}\). Montrer que \(F_{i}\) est la somme directe des espaces \((H_{ij})_{1\leq j\leq q}\).
En déduire l’énoncé suivant : Lorsque deux endomorphismes diagonalisables \(u\) et \(v\) commutent, il existe une base formée de vecteurs propres communs à \(u\) et à \(v\) (en d’autres termes, \(u\) et \(v\) sont diagonalisables simultanément dans la même base).