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Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes diagonalisables de $E$ , qui commutent (c’est à dire tels que $u\circ v=v\circ u$ ). On note $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{p}$ (resp. $\mu_{1},\ldots,\mu_{q}$ ) les valeurs propres de $u$ (resp. de $v$ ), et $F_{1},\ldots,F_{p}$ les espaces propres associés (resp. $G_{1},\ldots,G_{q}$ ).

Montrer que chaque $G_{j}$ (resp. $F_{i}$ ) est stable par $u$ (resp. $v$ ) (c’est à dire que $u(G_{j})\subset G_{j}$ ).

On pose $H_{ij}=F_{i}\cap G_{j}$ . Soit $i\in\{1,\ldots,p\}$ . Montrer que $F_{i}$ est la somme directe des espaces $(H_{ij})_{1\leq j\leq q}$ .

En déduire l’énoncé suivant : Lorsque deux endomorphismes diagonalisables $u$ et $v$ commutent, il existe une base formée de vecteurs propres communs à $u$ et à $v$ (en d’autres termes, $u$ et $v$ sont diagonalisables simultanément dans la même base).

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