On pose, pour \(x\) réel, \(F(x) = \int^{+\infty}_{t=0} \frac{1 - \cos tx}{t^2}\, d t\) et \(G(x) = \int^{+\infty}_{t=0} \frac{1 - \cos tx}{t\sqrt{1+t^2}}\,d t\).
1
Montrer que les intégrales \(F(x)\) et \(G(x)\) convergent absolument pour tout \(x\) réel et que \(F(x) = |x| F(1)\).
2
Montrer que la fonction \(F-G\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\R\). En déduire que \(G\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(\R^*\) et n’est pas dérivable en \(0\).