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On pose, pour $x$ réel, $F(x) = \int^{+\infty}_{t=0} \frac{1 - \cos tx}{t^2}\, d t$ et $G(x) = \int^{+\infty}_{t=0} \frac{1 - \cos tx}{t\sqrt{1+t^2}}\,d t$ .

Montrer que les intégrales $F(x)$ et $G(x)$ convergent absolument pour tout $x$ réel et que $F(x) = |x| F(1)$ .

Montrer que la fonction $F-G$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ . En déduire que $G$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\R^*$ et n’est pas dérivable en $0$ .