1
Montrer que le produit infini \[P(z)=\prod_{n=1}^{+\infty}{1+{z\over 2n}\over 1+{z\over 2n-1}}\] converge normalement sur tout compact de \(U=\{z\in\C\vert\ \Re\! ez>0\}\).
2
On pose \(f(z)=zP(z)\). Calculer \(f(1)\). On rappelle la formule \[\sin{\pi z}=\pi z\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-{z^2\over n^2}\right) .\]
3
On pose \(g=f'/f\). Ecrire \(g\) sous forme de série. Montrer que \(g(z)+g(z+1)=1/z\) (on travaillera sur les sommes partielles). En déduire que l’on a \(f(z)f(z+1)={2\over \pi}z\).