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Montrer que le produit infini $$P(z)=\prod_{n=1}^{+\infty}{1+{z\over 2n}\over 1+{z\over 2n-1}}$$ converge normalement sur tout compact de $U=\{z\in\C\vert\ \Re\! ez>0\}$.

On pose $f(z)=zP(z)$. Calculer $f(1)$. On rappelle la formule $$\sin{\pi z}=\pi z\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-{z^2\over n^2}\right) .$$

On pose $g=f'/f$. Ecrire $g$ sous forme de série. Montrer que $g(z)+g(z+1)=1/z$ (on travaillera sur les sommes partielles). En déduire que l’on a $f(z)f(z+1)={2\over \pi}z$.