Soit \(g\colon\R_{>0}\times \R_{>0}\to \R\) une fonction de classe \(C^1\) telle que \(g(1,1)=3\) et dont la différentielle vaille \[\begin{equation}\label{eq} \mathrm{d} g= (2xy+y^2)\mathrm{d} x + (x^2+2xy) \mathrm{d} y. \end{equation}\] Soit \[h\colon \R_{>0}\times\R_{>0} \longrightarrow \R_{>0}\times\R_{>0}\] l’application de classe \(C^1\) définie par \[h(x,y)= (u(x,y), v(x,y))=(x^2y, xy^2)\in \R_{>0}\times \R_{>0}.\]
Calculer \(\mathrm{d} u+\mathrm{d} v\).
Déterminer \(g\) à partir du calcul précédent et ([eq]), et sans autre calcul.
Montrer que \(h\) est une bijection. (On pourra calculer explicitement \(h^{-1}\).)
Déterminer explicitement \(\mathrm{d} (g\circ h^{-1})\).
Calculer les matrixes jacobiennes \(J_h(x,y)\) et \(J_{h^{-1}}(u,v)\) et vérifier par un calcul direct que \[J_h(x,y)J_{h^{-1}}(h(x,y))=I_2,\] où \(I_2\) est la matrice identité d’ordre 2.