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Soit $g\colon\R_{>0}\times \R_{>0}\to \R$ une fonction de classe $C^1$ telle que $g(1,1)=3$ et dont la différentielle vaille $$\begin{equation}\label{eq} \mathrm{d} g= (2xy+y^2)\mathrm{d} x + (x^2+2xy) \mathrm{d} y. \end{equation}$$ Soit $$h\colon \R_{>0}\times\R_{>0} \longrightarrow \R_{>0}\times\R_{>0}$$ l’application de classe $C^1$ définie par $$h(x,y)= (u(x,y), v(x,y))=(x^2y, xy^2)\in \R_{>0}\times \R_{>0}.$$