Pour le premier, on remarque un produit télescopique : \[\begin{align*} \prod_{k=1}^n \frac{2k+3}{2k+1} &= \prod_{k=1}^n \frac{2(k+1)+1}{2k+1}\\ &= \frac{2(n+1)+1}{2\times 1+1} = \frac{2n+3}{3} \end{align*}\] Pour le deuxième, on ré-écrit pour faire apparaître deux produit télescopiques : \[\begin{align*} \boxed{\prod_{k=2}^n \left(1-\frac{1}{k^2}\right)} &= \prod_{k=2}^n \frac{k^2-1}{k}\\ &= \prod_{k=2}^n \frac{(k-1)(k+1)}{k\times k} \\ &= \prod_{k=2}^n \frac{k-1}{k} \times \prod_{k=2}^n \frac{k+1}{k}\\ &= \frac{1}{n}\times \frac{n+1}{2}=\boxed{\frac{n+1}{2n}} \end{align*}\] Pour le dernier produit, on fait apparaître un produit télescopique en ajoutant un terme : \[\begin{align*} \boxed{\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{k}\right)^k} &= \prod_{k=1}^n \left(\frac{k+1}{k}\right)^k\\ &=\prod_{k=1}^n \frac{(k+1)^k}{k^k}\\ &= \prod_{k=1}^n \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k} \times \frac{1}{k+1} \\ &= \underbrace{\prod_{k=1}^n \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k}}_{\text{telescopage}}\times~\prod_{k=1}^n \frac{1}{k+1} \\ &= \frac{(n+1)^{n+1}}{1^1} \times \frac{1}{(n+1)!} = \boxed{\frac{(n+1)^n}{n!}} \end{align*}\]

Des produits