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Montrer que si \(\Sigma\) est une surface fermée de \(\R^3\) et \({\bf U}\) un champ de vecteurs \(C^1\) sur \(\Sigma\), alors \(\int_\Sigma \operatorname{rot}{\bf U}\cdot{\bf n} \,d\sigma = 0\). En déduire la valeur de \(\int_S \operatorname{rot}{\bf U}\cdot{\bf n} \,ds\), où \({\bf U} = (-y^3, x^3+z, z^3)\) et \(S\) l’hémisphère \(z>0\) de la sphère unité.