\(f\) est continue sur le segment \([a,b]\) et admet donc un maximum \(M\) sur ce segment. Puisque \(f\) est strictement positive sur \([a,b]\), ce maximum est strictement positif.

Pour \(n\in\Nn^*\), posons \(u_n=\left(\int_{a}^{b}(f(x))^n\;dx\right)^{1/n}\). Par croissance de l’intégrale, on a déjà

\[u_n\leq\left(\int_{a}^{b}M^n\;dx\right)^{1/n}=M(b-a)^{1/n},\]

(car \(\forall x\in[a,b],\;0\leq f(x)\leq M\Rightarrow \forall x\in[a,b],\;(f(x))^n\leq M^n\) par croissance de la fonction \(t\mapsto t^n\) sur \([0,+\infty[\)).

D’autre part, par continuité de \(f\) en \(x_0\) tel que \(f(x_0)=M\), pour \(\varepsilon\in]0,2M[\) donné, \(\exists[\alpha,\beta]\subset[a,b]/\;\alpha<\beta\;\mbox{et}\;\forall x\in[\alpha,\beta],\;f(x)\geq M-\frac{\varepsilon}{2}\).

Pour \(n\) élément de \(\Nn^*\), on a alors

\[u_n\geq\left(\int_{\alpha}^{\beta}(f(x))^n\;dx\right)^{1/n}\geq\left(\int_{\alpha}^{\beta}(M-\frac{\varepsilon}{2})^n\;dx\right)^{1/n}=(M-\frac{\varepsilon}{2})(\beta-\alpha)^{1/n}.\]

En résumé,

\[\forall\varepsilon\in]0,2M[,\;\exists(\alpha,\beta)\in[a,b]^2/\;\alpha<\beta\;\mbox{et}\;\forall n\in\Nn^*,\; (M-\frac{\varepsilon}{2})(\beta-\alpha)^{1/n}\leq u_n\leq M(b-a)^{1/n}.\]

Mais, \(\lim_{n\rightarrow +\infty}M(b-a)^{1/n}=M\) et \(\lim_{n\rightarrow +\infty}(M-\frac{\varepsilon}{2})(\beta-\alpha)^{1/n}=(M-\frac{\varepsilon}{2})(\beta-\alpha)^{1/n}\).

Par suite, \(\exists n_1\in\Nn^*/\;\forall n\geq n_1,\;M(b-a)^{1/n}<M+\varepsilon\) et \(\exists n_2\in\Nn^*/\;\forall n\geq n_2,\;(M-\frac{\varepsilon}{2})(\beta-\alpha)^{1/n}>M-\varepsilon\).

Soit \(n_0=\mbox{Max}\{n_1,n_2\}\). Pour \(n\geq n_0\), on a \(M-\varepsilon<u_n<M+\varepsilon\). On a montré que

\[\forall\varepsilon>0,\;\exists n_0\in\Nn^*/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_0\Rightarrow|u_n-M|<\varepsilon),\]

et donc que \(\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=M\).

Plus généralement, si \(g\) continue sur \([a,b]\), \(g\) admet un minimum \(m_1\) et un maximum \(M_1\) sur cet intervalle, tous deux strictement positifs puisque \(g\) est strictement positive. Pour \(n\) dans \(\Nn^*\), on a

\[m_1^{1/n}\left(\int_{a}^{b}(f(x))^n\;dx\right)^{1/n}\leq\left(\int_{a}^{b}(f(x))^ng(x)\;dx\right)^{1/n}\leq M_1^{1/n}\left(\int_{a}^{b}(f(x))^n\;dx\right),\]

et comme d’après l’étude du cas \(g=1\), on a \(\lim_{n\rightarrow +\infty}m_1^{1/n}\left(\int_{a}^{b}(f(x))^n\;dx\right)^{1/n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}M_1^{1/n}\left(\int_{a}^{b}(f(x))^n\;dx\right)^{1/n}=M\), le théorème de la limite par encadrements permet d’affirmer que \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\int_{a}^{b}(f(x))^ng(x)\;dx\right)^{1/n}=M\). On a montré que

\[\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\int_{a}^{b}(f(x))^ng(x)\;dx\right)^{1/n}=\mbox{Max}\{f(x),\;x\in[a,b]\}.\]

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