Soit \(U\) un ouvert convexe de \(\R^p\) et \(f : U \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) dont les dérivées secondes sont bornées :
\[\forall\ i,j,\ \forall\ A \in U,\ \left|\frac{\partial^2 f}{\partial {x_i}\partial {x_j}}(A)\right| \le M.\]
1
Montrer que : \(\forall\ A,B \in U,\ \bigl|f(B)-f(A) - df_A(\vec{AB})\bigr| \le \frac{M\|\vec{AB}\|_1^2}2\).
2
Montrer que : \(\forall\ A,B \in U,\ \bigl|f(B)-f(A) - df_C(\vec{AB})\bigr| \le \frac{M\|\vec{AB}\|_1^2}4\) où \(C\) est le milieu de \([A,B]\).