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Soit $U$ un ouvert convexe de $\R^p$ et $f : U \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ dont les dérivées secondes sont bornées :

$\forall\ i,j,\ \forall\ A \in U,\ \left|\frac{\partial^2 f}{\partial {x_i}\partial {x_j}}(A)\right| \le M.$

Montrer que : $\forall\ A,B \in U,\ \bigl|f(B)-f(A) - df_A(\vec{AB})\bigr| \le \frac{M\|\vec{AB}\|_1^2}2$ .

Montrer que : $\forall\ A,B \in U,\ \bigl|f(B)-f(A) - df_C(\vec{AB})\bigr| \le \frac{M\|\vec{AB}\|_1^2}4$ où $C$ est le milieu de $[A,B]$ .

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