Supposons que $f$ est convexe sur un intervalle ouvert $I=]a,b[$ ( $a$ et $b$ réels ou infinis).

Soit $x_0\in I$ . On sait que la fonction pente en $x_0$ est croissante.

Pour $x\neq x_0$ , posons $g(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ . Soit $x'$ un élément de $]x_0,b[$ . $\forall x\in]a,x_0[$ , on a $g(x)<g(x')$ , ce qui montre que $g$ est majorée au voisinage de $x_0$ à gauche. Etant croissante, $g$ admet une limite réelle quand $x$ tend vers $x_0$ par valeurs inférieures ou encore, $\lim_{x\rightarrow x_0,\;x<x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe dans $\Rr$ . $f$ est donc dérivable à gauche en $x_0$ . On montre de même que $f$ est dérivable à droite en $x_0$ .

Finalement, $f$ est dérivable à droite et à gauche en tout point de $]a,b[$ . En particulier, $f$ est continue à droite et à gauche en tout point de $]a,b[$ et donc continue sur $]a,b[$ .

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