Pour \(n\geq1\), on a d’après la formule de Leibniz :

\[\begin{align*}\ensuremath (x^{n-1}\ln(1+x))^{(n)}&=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}(x^{n-1})^{(k)}(\ln(1+x))^{(n-k)}\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}\dbinom{n}{k}(x^{n-1})^{(k)}(\ln(1+x))^{(n-k)}\;(\mbox{car}\;(x^{n-1})^{(n)})=0)\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}\dbinom{n}{k}\frac{(n-1)!}{(n-1-k)!}x^{n-1-k}(-1)^{n-1-k}\frac{(n-1-k)!}{(x+1)^{n-k}}\\ &(\mbox{car}\;(\ln(1+x))^{(n-k)}=(\frac{1}{1+x})^{(n-k-1)}). \end{align*}\]

Puis, pour \(x=0\), \((x^{n-1}\ln(1+x))^{(n)}(0)=n.(n-1)!=n!\), et pour \(x\neq0\),

\[\begin{align*}\ensuremath (x^{n-1}\ln(1+x))^{(n)}(x)&=-\frac{(n-1)!}{x}\sum_{k=0}^{n-1}\dbinom{n}{k}(-\frac{x}{x+1})^{n-k} =-\frac{(n-1)!}{x}((1-\frac{x}{x+1})^n-1)\\ &=\frac{(n-1)!}{x}\frac{(x+1)^n-1}{(x+1)^n}. \end{align*}\] On sait dériver facilement des sommes ou plus généralement des combinaisons linéaires. Donc, on linéarise :

\[\begin{align*}\ensuremath \cos^3x\sin(2x)&=\frac{1}{8}(e^{ix}+e^{-ix})^3(-\frac{1}{4})(e^{2ix}-e^{-2ix})=-\frac{1}{32} (e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix})(e^{2ix}-2+e^{-2ix})\\ &=-\frac{1}{32}(e^{5ix}+e^{3ix}-2e^{ix}-2e^{-ix}+e^{-3ix}+e^{-5ix})=-\frac{1}{16}(\cos(5x)+\cos(3x)-2\cos(x)) \end{align*}\]

Puis, pour \(n\) naturel donné :

\[(\cos^3x\sin2x)^{(n)}=-\frac{1}{16}(5^n\cos(5x+n\frac{\pi}{2})+3^n\cos(3x+n\frac{\pi}{2})-2cos(x+n\frac{\pi}{2})),\]

expression que l’on peut détailler suivant la congruence de \(n\) modulo \(4\). On sait dériver des objets simples et donc on décompose en éléments simples :

\[\frac{X^2+1}{(X-1)^3}=\frac{X^2-2X+1+2X-2+2}{(X-1)^3}=\frac{1}{X-1}+\frac{2}{(X-1)^2}+\frac{2}{(X-1)^3}.\]

Puis, pour \(n\) entier naturel donné,

\[\begin{align*}\ensuremath \left(\frac{X^2+1}{(X-1)^3}\right)^{(n)}&=\frac{(-1)^nn!}{(X-1)^{n+1}}+2\frac{(-1)^n(n+1)!}{(X-1)^{n+2}}+\frac{(-1)^n(n+2)!}{(X-1)^{n+3}}\\ &=\frac{(-1)^nn!}{(X-1)^{n+3}}((X-1)^2+2(n+1)(X-1)+(n+2)(n+1))\\ &=\frac{(-1)^nn!(X^2+2nX+n^2+n+1)}{(X-1)^{n+3}}. \end{align*}\] La fonction proposée est de classe \(C^\infty\) sur \(\Rr\) en vertu de théorèmes généraux. La formule de Leibniz fournit pour \(n\geq3\) :

\[\begin{align*}\ensuremath ((x^3+2x-7)e^x)^{(n)}&=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}(x^3+2x-7)^{(k)}(e^x)^{(n-k)}=\sum_{k=0}^{3}\dbinom{n}{k}(x^3+2x-7)^{(k)}(e^x)^{(n-k)}\\ &=((x^3+2x-7)+n(3x^2+2)+\frac{n(n-1)}{2}(6x)+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.6)e^x\\ &=(x^3+3nx^2+(3n^2-3n+2)x+n^3-3n^2+4n-7)e^x. \end{align*}\]

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