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Soient $P = a_0 + a_1X + \dots + a_pX^p$, et $Q = b_0 + b_1X + \dots + b_qX^q$, avec $a_p \ne 0,\ b_q \ne 0$.

Le résultant de $P$ et $Q$ est : $\text{Res}(P,Q) = \underbrace{\left|\begin{array}{llll} a_0 & & & \\ \vphantom{\vdots b_{q-1}} a_1 &\ddots& & \\ \vphantom{\vdots b_{q-1}} \vdots &\ddots&\ddots& \\ \vphantom{\vdots b_{q-1}} a_p &\ddots&\ddots&a_0 \\ \vphantom{\vdots b_{q-1}} &\ddots&\ddots&a_1 \\ \vphantom{\vdots b_{q-1}} & &\ddots&\vdots \\ & & &a_p \end{array}\right.}_{q} \underbrace{\left.\begin{array}{lll} b_0 & & \\ \vphantom{\vdots b_{q-1}} \vdots &\ddots& \\ \vphantom{\vdots b_{q-1}} \vdots &\ddots&b_0 \\ \vphantom{\vdots b_{q-1}} b_{q-1} &\ddots&\vdots \\ \vphantom{\vdots b_{q-1}} b_q &\ddots&\vdots \\ \vphantom{\vdots b_{q-1}} &\ddots&b_{q-1} \\ & &b_q \end{array}\,\right|}_{p}$ $\begin{array}{l}\text{les positions non remplies}\\ \text{correspondent à des zéros.}\end{array}$
En considérant l’application ${\Phi} : { K_{q-1}[X] \times K_{p-1}[X]} \to { K_{p+q-1}[X]}, {(U,V)} \mapsto {UP+VQ,}$

montrer que : $\text{Res}(P,Q) \ne 0 \iff P \wedge Q = 1$.

Application : CNS pour que le polynôme $P = X^4 + aX + b$ ait une racine multiple ?