Soient \(P = a_0 + a_1X + \dots + a_pX^p\), et \(Q = b_0 + b_1X + \dots + b_qX^q\), avec \(a_p \ne 0,\ b_q \ne 0\).
Le résultant de \(P\) et \(Q\) est :
\(\text{Res}(P,Q) = \left|\vcenter{
\halign{&\hskip3pt$#$\hfil\hskip3pt\cr
a_0 & & & &b_0 & \cr
a_1 &\ddots& & &\vdots &\ddots \cr
\vdots &\ddots&\ddots& &\vdots &\ddots&b_0 \cr
a_p &\ddots&\ddots&a_0 &b_{q-1}\hidewidth&\ddots&\vdots \cr
&\ddots&\ddots&a_1 &b_q &\ddots&\vdots \cr
& &\ddots&\vdots & &\ddots&b_{q-1}\hidewidth\cr
& & &a_p & & &b_q \cr
\multispan4$\hskip 2pt
\mathord\leftarrow\mkern-6mu
\cleaders\hbox{$\mkern-2mu\mathord-\mkern-2mu$}\hfill
\mkern-6mu\mathord\rightarrow
\hskip 2pt$&\multispan3$\hskip 2pt
\mathord\leftarrow\mkern-6mu
\cleaders\hbox{$\mkern-2mu\mathord-\mkern-2mu$}\hfill
\mkern-6mu\mathord\rightarrow
\hskip 2pt$\cr
\noalign{\vskip-0.5\baselineskip}
\multispan4 $q$ &\multispan3 $p$ \cr}
\vskip-\baselineskip}\hskip5pt\right|\)
\(\vcenter{\hbox{les positions non remplies}
\hbox{correspondent à des zéros.}}\)
En considérant l’application
\({\Phi} : { K_{q-1}[X] \times K_{p-1}[X]} \to { K_{p+q-1}[X]},
{(U,V)} \mapsto {UP+VQ,}\)
montrer que : \(\text{Res}(P,Q) \ne 0 \iff P \wedge Q = 1\).
Application : CNS pour que le polynôme \(P = X^4 + aX + b\) ait une racine multiple ?