$\Leftarrow$ Soit $(u,v)((\mathcal{L}(E))^2$ . On suppose qu’il existe $w\in\mathcal{L}(E)$ tel que $u=w\circ v$ . Soit $x$ un élément de $\mbox{Ker}v$ . Alors $v(x)=0$ et donc $u(x)=w(v(x))=w(0)=0$ . Mais alors, $x$ est dans $\mbox{Ker}u$ . Donc $\mbox{Ker}v\subset{Ker}u$ .
$\Rightarrow$ Supposons que $\mbox{Ker}v\subset\mbox{Ker}u$ . On cherche à définir $w$ , élément de $\mathcal{L}(E)$ tel que $w\circ v=u$ . Il faut définir précisément $w$ sur $\mbox{Im}v$ car sur $E\setminus\mbox{Im}v$ , on a aucune autre contrainte que la linéarité.

Soit $y$ un élément de $\mbox{Im}v$ . (Il existe $x$ élément de $E$ tel que $y=v(x)$ . On a alors envie de poser $w(y)=u(x)$ mais le problème est que $y$ , élément de $\mbox{Im}v$ donné peut avoir plusieurs antécédents $x$ , $x'$ ... et on peut avoir $u(x)\neq u(x')$ de sorte que l’on n’aurait même pas défini une application $w$ .)

Soient $x$ et $x'$ deux éléments de $E$ tels que $v(x)=v(x')=y$ alors $v(x-x')=0$ et donc $x-x'\in\mbox{Ker}v\subset\mbox{Ker}u$ . Par suite, $u(x-x')=0$ ou encore $u(x)=u(x')$ . En résumé, pour $y$ élément donné de $\mbox{Im}v$ , il existe $x$ élément de $E$ tel que $v(x)=y$ . On pose alors $w(y)=u(x)$ en notant que $w(y)$ est bien uniquement défini, car ne dépend pas du choix de l’antécédent $x$ de $y$ par $v$ . $w$ n’est pas encore défini sur $E$ tout entier. Notons $F$ un supplémentaire quelconque de $\mbox{Im}v$ dans $E$ (l’existence de $F$ est admise).

Soit $X$ un élément de $E$ . Il existe deux vecteurs $y$ et $z$ , de $\mbox{Im}v$ et $F$ respectivement, tels que $X=y+z$ . On pose alors $w(X)=u(x)$ où $x$ est un antécédent quelconque de $y$ par $v$ (on a pris pour restriction de $w$ à $F$ l’application nulle). $w$ ainsi définie est une application de $E$ dans $E$ car, pour $X$ donné $y$ est uniquement défini puis $u(x)$ est uniquement défini (mais pas nécessairement $x$ ).

Soit $x$ un élément de $E$ et $y=v(x)$ . $w(v(x))=w(y)=w(y+0)=u(x)$ (car 1) $y$ est dans $\mbox{Im}v$ 2) $0$ est dans $F$ 3) $x$ est un antécédent de $y$ par $v$ ) et donc $w\circ v=u$ .

Montrons que $w$ est linéaire. Soient, avec les notations précédentes, $X_1=y_1+z_1$ et $X_2=y_2+z_2$ ...

$\begin{align*} w(X_1+X_2)&=w((y_1+y_2)+(z_1+z_2))=u(x_1+x_2)\quad(\mbox{car}\;y_1+y_2=v(x_1)+v(x_2)=v(x_1+x2))\\ &=u(x_1)+u(x_2)=w(X_1)+w(X_2) \end{align*}$

et

$w(\lambda X)=w(\lambda y+\lambda z)=u(\lambda x)=\lambda u(x)=\lambda w(X).$ On applique 1) à $u=Id$ .

$v\;\mbox{injective}\Leftrightarrow\mbox{Ker}v=\{0\}\Leftrightarrow\mbox{Ker}v=\mbox{Ker}Id\Leftrightarrow\exists w\in\mathcal{L}(E)/\;w\circ v=Id.$

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