Soit \((u,v)((\mathcal{L}(E))^2\). On suppose qu’il existe \(w\in\mathcal{L}(E)\) tel que \(u=w\circ v\). Soit \(x\) un élément de \(\mbox{Ker}v\). Alors \(v(x)=0\) et donc \(u(x)=w(v(x))=w(0)=0\). Mais alors, \(x\) est dans \(\mbox{Ker}u\). Donc \(\mbox{Ker}v\subset{Ker}u\). [\(\Rightarrow\)] Supposons que \(\mbox{Ker}v\subset\mbox{Ker}u\). On cherche à définir \(w\), élément de \(\mathcal{L}(E)\) tel que \(w\circ v=u\). Il faut définir précisément \(w\) sur \(\mbox{Im}v\) car sur \(E\setminus\mbox{Im}v\), on a aucune autre contrainte que la linéarité.

Soit \(y\) un élément de \(\mbox{Im}v\). (Il existe \(x\) élément de \(E\) tel que \(y=v(x)\). On a alors envie de poser \(w(y)=u(x)\) mais le problème est que \(y\), élément de \(\mbox{Im}v\) donné peut avoir plusieurs antécédents \(x\), \(x'\)... et on peut avoir \(u(x)\neq u(x')\) de sorte que l’on n’aurait même pas défini une application \(w\).)

Soient \(x\) et \(x'\) deux éléments de \(E\) tels que \(v(x)=v(x')=y\) alors \(v(x-x')=0\) et donc \(x-x'\in\mbox{Ker}v\subset\mbox{Ker}u\). Par suite, \(u(x-x')=0\) ou encore \(u(x)=u(x')\). En résumé, pour \(y\) élément donné de \(\mbox{Im}v\), il existe \(x\) élément de \(E\) tel que \(v(x)=y\). On pose alors \(w(y)=u(x)\) en notant que \(w(y)\) est bien uniquement défini, car ne dépend pas du choix de l’antécédent \(x\) de \(y\) par \(v\). \(w\) n’est pas encore défini sur \(E\) tout entier. Notons \(F\) un supplémentaire quelconque de \(\mbox{Im}v\) dans \(E\) (l’existence de \(F\) est admise).

Soit \(X\) un élément de \(E\). Il existe deux vecteurs \(y\) et \(z\), de \(\mbox{Im}v\) et \(F\) respectivement, tels que \(X=y+z\). On pose alors \(w(X)=u(x)\) où \(x\) est un antécédent quelconque de \(y\) par \(v\) (on a pris pour restriction de \(w\) à \(F\) l’application nulle). \(w\) ainsi définie est une application de \(E\) dans \(E\) car, pour \(X\) donné \(y\) est uniquement défini puis \(u(x)\) est uniquement défini (mais pas nécessairement \(x\)).

Soit \(x\) un élément de \(E\) et \(y=v(x)\). \(w(v(x))=w(y)=w(y+0)=u(x)\) (car 1)\(y\) est dans \(\mbox{Im}v\) 2)\(0\) est dans \(F\) 3) \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(v\)) et donc \(w\circ v=u\).

Montrons que \(w\) est linéaire. Soient, avec les notations précédentes, \(X_1=y_1+z_1\) et \(X_2=y_2+z_2\) ...

\[\begin{align*} w(X_1+X_2)&=w((y_1+y_2)+(z_1+z_2))=u(x_1+x_2)\quad(\mbox{car}\;y_1+y_2=v(x_1)+v(x_2)=v(x_1+x2))\\ &=u(x_1)+u(x_2)=w(X_1)+w(X_2) \end{align*}\]

et

\[w(\lambda X)=w(\lambda y+\lambda z)=u(\lambda x)=\lambda u(x)=\lambda w(X).\] On applique 1) à \(u=Id\).

\[v\;\mbox{injective}\Leftrightarrow\mbox{Ker}v=\{0\}\Leftrightarrow\mbox{Ker}v=\mbox{Ker}Id\Leftrightarrow\exists w\in\mathcal{L}(E)/\;w\circ v=Id.\]

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