1
Montrer que les équations de Cauchy-Riemann en polaires s’écrivent \(\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{i}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta}=0\).
2
Écrire les opérateurs \(\frac{\partial}{\partial z}\) et \(\frac{\partial}{\partial \bar z}\) en coordonnées polaires.
3
Si \(f=u+iv\) est holomorphe sur \(U\), montrer qu’en tout \(z=re^{i\theta}\) de \(U\), on a \(f'(z) = \frac{e^{-i\theta}}{r}\left(\frac{\partial v}{\partial \theta}(z) -i\frac{\partial u}{\partial \theta}(z)\right)\).
4
Soit \(P\) un polynôme non constant, supposé sans zéros. On pose alors \(I(r)=\int_0^{2\pi}{d\theta\over P(re^{i\theta})}\). Montrer que \(I'(r)=0\). En calculant \(\lim_{r\to\infty}I(r)\) et \(I(0)\), aboutir à une contradiction. Conclusion ?