\(\Rightarrow\)/ Si \(p+q\) est un projecteur alors l’égalité \((p+q)^2=p+q\) founit \(pq+qp=0\). En composant par \(p\) à droite ou à gauche , on obtient \(pqp+qp=0=pq+pqp\) et donc \(pq = qp\).

Cette égalité jointe à l’égalité \(pq + qp = 0\) fournit \(pq = qp = 0\).

\(\Leftarrow\)/ Si \(pq = qp = 0\), alors \((p+q)^2=p^2 + pq + qp + q^2 = p + q\) et \(p + q\) est un projecteur.

Dorénavant, \(p+q\) est un projecteur ou ce qui revient au même \(pq=qp=0\).

On a \(\text{Ker}p\cap\text{Ker}q\subset\text{Ker}(p+q)\). Inversement, pour \(x\in E\),

\(x\in\text{Ker}(p+q)\Rightarrow(p+q)(x)=0\Rightarrow p(p(x)+q(x))=0\Rightarrow p(x)=0\),

et de même \(q(x)=0\). Ainsi, \(\text{Ker}(p+q)\subset\text{Ker}p\cap\text{Ker}q\) et donc \(\text{Ker}(p+q)=\text{Ker}p\cap\text{Ker}q\).

On a \(\text{Im}(p+q)\subset\text{Im}p+\text{Im}q\). Inversement, pour \(x\in E\),

\(x\in\text{Im}p+\text{Im}q\Rightarrow\exists(x_1,x_2)\in E^2/\;x=p(x_1)+q(x_2)\).

Mais alors, \((p+q)(x)=p^2(x_1)+pq(x_1)+qp(x_2)+q^2(x_2)=p(x_1)+q(x_2)=x\) et donc \(x\in\text{Im}(p+q)\). Ainsi, \(\text{Im}p+\text{Im}q\subset\text{Im}(p+q)\) et donc \(\text{Im}(p+q)=\text{Im}p+\text{Im}q\). En résumé, si \(p\) et \(q\) sont deux projecteurs tels que \(p+q\) soit un projecteur, alors

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