$\Rightarrow$ / Si $p+q$ est un projecteur alors l’égalité $(p+q)^2=p+q$ founit $pq+qp=0$ . En composant par $p$ à droite ou à gauche , on obtient $pqp+qp=0=pq+pqp$ et donc $pq = qp$ .

Cette égalité jointe à l’égalité $pq + qp = 0$ fournit $pq = qp = 0$ .

$\Leftarrow$ / Si $pq = qp = 0$ , alors $(p+q)^2=p^2 + pq + qp + q^2 = p + q$ et $p + q$ est un projecteur.

Pour tous projecteurs $p$ et $q$ , ( $p+q$ projecteur $\Leftrightarrow p\circ q=q\circ p=0\Leftrightarrow\text{Im}q\subset\text{Ker}p\;\text{et}\;\text{Im}p\subset\text{Ker}q$ ).

Dorénavant, $p+q$ est un projecteur ou ce qui revient au même $pq=qp=0$ .

On a $\text{Ker}p\cap\text{Ker}q\subset\text{Ker}(p+q)$ . Inversement, pour $x\in E$ ,

$x\in\text{Ker}(p+q)\Rightarrow(p+q)(x)=0\Rightarrow p(p(x)+q(x))=0\Rightarrow p(x)=0$ ,

et de même $q(x)=0$ . Ainsi, $\text{Ker}(p+q)\subset\text{Ker}p\cap\text{Ker}q$ et donc $\text{Ker}(p+q)=\text{Ker}p\cap\text{Ker}q$ .

On a $\text{Im}(p+q)\subset\text{Im}p+\text{Im}q$ . Inversement, pour $x\in E$ ,

$x\in\text{Im}p+\text{Im}q\Rightarrow\exists(x_1,x_2)\in E^2/\;x=p(x_1)+q(x_2)$ .

Mais alors, $(p+q)(x)=p^2(x_1)+pq(x_1)+qp(x_2)+q^2(x_2)=p(x_1)+q(x_2)=x$ et donc $x\in\text{Im}(p+q)$ . Ainsi, $\text{Im}p+\text{Im}q\subset\text{Im}(p+q)$ et donc $\text{Im}(p+q)=\text{Im}p+\text{Im}q$ . En résumé, si $p$ et $q$ sont deux projecteurs tels que $p+q$ soit un projecteur, alors

$\text{Ker}(p+q)=\text{Ker}p\cap\text{Ker}q$ et $\text{Im}(p+q)=\text{Im}p+\text{Im}q$ .

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