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Soit $f$ une fonction intégrable au sens de Riemann périodique de période $2\pi$ . On désigne par : $\displaystyle{ \frac{a_0}{2}+ \sum _{k=1}^\infty(a_k \cos (kx)+ b_k \sin (kx))}$ sa série de Fourier et on pose, pour tout $n\in \Nn : \displaystyle{ S_n(x)=\frac{a_0}{2}+ \sum _{k=1}^n(a_k \cos (kx)+ b_k \sin (kx))}.$

Soit $\theta \in \Rr-2\pi \Zz .$ Montrer $\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \sum _{k=1}^n \cos (k\theta)=\frac{\sin (n+\frac{1}{2})\theta} {2\sin \frac{\theta }{2}}}.$

Etablir que $\displaystyle{ S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int _{-\pi}^\pi \frac {\sin (n+\frac{1}{2})(x-t)}{2\sin \frac{(x-t)}{2}}f(t)dt}$ .

En déduire $\displaystyle{ S_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int _{-\pi}^\pi f(x+\theta ) \frac{\sin (n+\frac{1}{2})\theta} {\sin \frac{\theta }{2}}d\theta }$ .

Calculer $\displaystyle{ \int _{0}^\pi \frac{\sin (n+\frac{1}{2})\theta} {\sin \frac{\theta }{2}}d\theta } .$

exo7 1950

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