On note : \(E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}\) ;
\(E^1 = \{f\in E \text{ de classe }\mathcal{C}^1\}\) ;
\(E_n = \{f\in E\text{ tel que }\forall\ k\in[[-n,n]],\ {\textstyle \int}_{t=0}^{2\pi}f(t)e^{-ikt}\,d t = 0\}\) ;
\(E_n^1 = E_n \cap E^1.\)
On considère sur \(E\) la norme \(\|\ \|_2\) \(\Bigl(\|f\|_2 = \sqrt{\frac1{2\pi}\int |f|^2}\;\Bigr)\).
1
Montrer que \(D : {E_0^1} \to {E_0}, f \mapsto {f'}\) est une bijection.
2
\(D\) est-elle continue ?
3
Montrer que \(D^{-1}\) est continue.
4
Montrer que \(D^{-1}(E_n) = E_n^1\) et calculer \(\|\kern-1.2pt|D^{-1}_{|E_n}\|\kern-1.2pt|\).