Les éléments différents de $1$ sont d’ordre $5$ , $7$ ou $35$ . S’il existe un élément $g$ d’ordre $35$ (i.e., si le groupe est cyclique d’ordre $35$ ), alors $g^5$ est d’ordre $7$ et $g^7$ est d’ordre $5$ . Supposons que le groupe n’est pas cyclique et qu’il n’existe pas d’élément d’ordre $7$ . Tout élément différent de $1$ serait alors d’ordre $5$ et le groupe serait réunion de sous-groupes d’ordre $5$ . Mais de tels sous-groupes sont soit égaux soit d’intersection $\{1\}$ (car $5$ est premier). On aurait alors $35 = 4n+1$ avec $n$ le nombre de sous-groupes distincts d’ordre $5$ , ce qui donne la contradiction cherchée. Le raisonnement est le même s’il n’existe pas d’élément d’ordre $5$ .

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