Les éléments différents de \(1\) sont d’ordre \(5\), \(7\) ou \(35\). S’il existe un élément \(g\) d’ordre \(35\) (i.e., si le groupe est cyclique d’ordre \(35\)), alors \(g^5\) est d’ordre \(7\) et \(g^7\) est d’ordre \(5\). Supposons que le groupe n’est pas cyclique et qu’il n’existe pas d’élément d’ordre \(7\). Tout élément différent de \(1\) serait alors d’ordre \(5\) et le groupe serait réunion de sous-groupes d’ordre \(5\). Mais de tels sous-groupes sont soit égaux soit d’intersection \(\{1\}\) (car \(5\) est premier). On aurait alors \(35 = 4n+1\) avec \(n\) le nombre de sous-groupes distincts d’ordre \(5\), ce qui donne la contradiction cherchée. Le raisonnement est le même s’il n’existe pas d’élément d’ordre \(5\).

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