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Soit $G$ un $p$-groupe agissant sur un ensemble fini $E$. Montrer que le cardinal de l’ensemble des points fixes de l’action est congru, modulo $p$, au cardinal de $E$.

En considérant une action de $G$ sur lui-même, montrer que le théorème de Burnside : le centre d’un $p$-groupe non réduit à l’élément neutre n’est pas réduit à l’élément neutre.