On considère dans l’espace euclidien \(E\) de dimension \(3\) une quadrique \(\mathcal{Q}\) d’équation \(q(x,y,z)=0\) où \(q\) est un polynôme de degré 2. On note \(h\) sa partie homogène de degré \(2\). C’est une forme quadratique sur \(\vec{E}\). On l’appelle forme quadratique à l’infini. On note \(Q\) l’homogénéisée de \(q\). C’est une forme quadratique sur \(\widehat{E}\) qui définit la complétion projective de \(\mathcal{Q}\).
Montrer que chaque argument de la signature de \(Q\) est plus grand que l’argument correspondant de la signature de \(h\).
On suppose que la signature de \(h\) est \((3,0)\) ou \((0,3)\). Déterminer, suivant la signature de \(Q\) une forme réduite (dans un bon repère) pour \(q\) et représenter dans chaque cas la quadrique \(\mathcal{Q}\).
Indiquer le résultat pour les autres signatures.
Affecter aux différents cas les noms suivants :
plan double réel, couple de plans imaginaires conjugués parallèles distincts, couple de plans réels parallèles distincts,
cylindre à base parabolique, cylindre à base hyperbolique, cylindre à base elliptique, cylindre imaginaire,
cône imaginaire de sommet réel, cône de base une conique propre réelle,
ellipsoïde imaginaire, ellipsoïde réel,
paraboloïde hyperbolique, paraboloïde elliptique,
hyperboloïde à une nappe, hyperboloïde à deux nappes.