On considère dans l’espace euclidien de dimension une quadrique d’équation où est un polynôme de degré 2. On note sa partie homogène de degré . C’est une forme quadratique sur . On l’appelle forme quadratique à l’infini. On note l’homogénéisée de . C’est une forme quadratique sur qui définit la complétion projective de .
Montrer que chaque argument de la signature de est plus grand que l’argument correspondant de la signature de .
On suppose que la signature de est ou . Déterminer, suivant la signature de une forme réduite (dans un bon repère) pour et représenter dans chaque cas la quadrique .
Indiquer le résultat pour les autres signatures.
Affecter aux différents cas les noms suivants :
plan double réel, couple de plans imaginaires conjugués parallèles distincts, couple de plans réels parallèles distincts,
cylindre à base parabolique, cylindre à base hyperbolique, cylindre à base elliptique, cylindre imaginaire,
cône imaginaire de sommet réel, cône de base une conique propre réelle,
ellipsoïde imaginaire, ellipsoïde réel,
paraboloïde hyperbolique, paraboloïde elliptique,
hyperboloïde à une nappe, hyperboloïde à deux nappes.