1
Inégalités de Hölder et de Minkowski. Soit \((p,q)\in]0,+\infty[^2\) tel que \(\frac{1}{p}+ \frac{1}{q}=1\).
2
Montrer que pour \((x,y)\in[0,+\infty[^2\), \(xy\leqslant \frac{x^p}{p}+ \frac{x^q}{q}\).
3
En déduire que \(\forall((a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n))\in(\Rr^n)^2\), \(\left|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right|\leqslant\left(\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^{n}|b_k|^q\right)^{1/q}\).
4
En déduire que \(\forall((a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n))\in(\Rr^n)^2\), \(\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_k+b_k\right|^p\right)^{1/p}\leqslant\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_k\right|^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|b_k\right|^p\right)^{1/p}\).