La fonction $f~:~t\mapsto\frac{t-1}{\ln t}$ est continue sur $]0,1[$ , prolongeable par continuité en $0$ et $1$ et donc est intégrable sur $]0,1[$ .

Soit $x\in]0,1[$ . Chacune des deux fonctions $t\mapsto\frac{t}{\ln t}$ et $t\mapsto\frac{1}{\ln t}$ se prolonge par continuité en $0$ et est ainsi intégrable sur $]0,x]$ . On peut donc écrire

$\int_{0}^{x}\frac{t-1}{\ln t}\;dt=\int_{0}^{x}\frac{t}{\ln t}\;dt -\int_{0}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt$ .

Dans la première intégrale, on pose $u = t^2$ et on obtient $\int_{0}^{x}\frac{t}{\ln t}\;dt =\int_{0}^{x}\frac{2t}{\ln(t^2)}\;dt=\int_{0}^{x^2}\frac{1}{\ln u}\;du$ et donc

$\int_{0}^{x}\frac{t-1}{\ln t}\;dt=\int_{0}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt -\int_{0}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt=\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt$ .

On note alors que, puisque $x\in]0,1[$ , $x^2 < x$ . Pour $t\in[x^2,x]$ , on a $t\ln t < 0$ et donc $\frac{x}{t\ln t}\leqslant\frac{t}{t\ln t}=\frac{1}{\ln t}\leqslant\frac{x^2}\ln t$ puis par croissance de l’intégrale, $\int_{x^2}^{x}\frac{x}{t\ln t}\;dt\leqslant\int_{x^2}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt\leqslant\int_{x^2}^{x}\frac{x^2}{t\ln t}\;dt$ et donc

$x^2\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt\leqslant\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dtx\leqslant x\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt$

Maintenant, $\int_{x}^{x^2}\frac{1}{t\ln t}\;dt =\ln|\ln(x^2)|-\ln|\ln x|=\ln2$ et on a montré que, pour tout réel $x$ de $]0,1[$ ,

$x^2\ln2\leqslant\int_{0}^{x}\frac{t-1}{\ln t}\;dt\leqslant x\ln2$

Quand $x$ tend vers $1$ , on obtient

$\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}\;dt =\ln2$ .

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