Soit $r$ la raison de la suite $u$ . Pour tout entier naturel $k$ , on a

$\frac{r}{u_ku_{k+1}}=\frac{u_{k+1}-u_k}{u_ku_{k+1}}=\frac{1}{u_k}-\frac{1}{u_{k+1}}$ .

En sommant ces égalités, on obtient :

$r\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{u_ku_{k+1}}=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{u_k}-\frac{1}{u_{k+1}}\right)=\frac{1}{u_0}-\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{u_{n+1}-u_0}{u_0u_{n+1}}=\frac{(n+1)r}{u_0u_{n+1}}.$ Si $r\neq0$ , on obtient $\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{u_ku_{k+1}}=\frac{(n+1)}{u_0u_{n+1}}$ , et si $r=0$ (et $u_0\neq0$ ), $u$ est constante et le résultat est immédiat.

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