Soit \(E\) un \(\Rr\) espace vectoriel de dimension finie. Soit \(||\;||\) une norme sur \(E\) vérifiant l’identité du parallèlogramme, c’est-à-dire : \(\forall(x,y)\in E^2,\;||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)\). On se propose de démontrer que \(||\;||\) est associée à un produit scalaire. On définit sur \(E^2\) une application \(f\) par : \(\forall(x,y)\in E^2,\;f(x,y)=\frac{1}{4}(||x+y||^2-||x-y||^2)\).
Montrer que pour tout \((x,y,z)\) de \(E^3\), on a : \(f(x+z,y)+f(x-z,y)=2f(x,y)\).
Montrer que pour tout \((x,y)\) de \(E^2\), on a : \(f(2x,y)=2f(x,y)\).
Montrer que pour tout \((x,y)\) de \(E^2\) et tout rationnel \(r\), on a : \(f(rx,y)=rf(x,y)\).
On admettra que pour tout réel \(\lambda\) et tout \((x,y)\) de \(E^2\) on a : \(f(\lambda x,y)=\lambda f(x,y)\) ( ce résultat provient de la continuité de \(f\)).
Montrer que pour tout \((u,v,w)\) de \(E^3\), \(f(u,w)+f(v,w)=f(u+v,w)\).
Montrer que \(f\) est bilinéaire.
Montrer que \(||\;||\) est une norme euclidienne.