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Soit $E$ un $\Rr$ espace vectoriel de dimension finie. Soit $||\;||$ une norme sur $E$ vérifiant l’identité du parallèlogramme, c’est-à-dire : $\forall(x,y)\in E^2,\;||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)$ . On se propose de démontrer que $||\;||$ est associée à un produit scalaire. On définit sur $E^2$ une application $f$ par : $\forall(x,y)\in E^2,\;f(x,y)=\frac{1}{4}(||x+y||^2-||x-y||^2)$ .

Montrer que pour tout $(x,y,z)$ de $E^3$ , on a : $f(x+z,y)+f(x-z,y)=2f(x,y)$ .

Montrer que pour tout $(x,y)$ de $E^2$ , on a : $f(2x,y)=2f(x,y)$ .

Montrer que pour tout $(x,y)$ de $E^2$ et tout rationnel $r$ , on a : $f(rx,y)=rf(x,y)$ .

On admettra que pour tout réel $\lambda$ et tout $(x,y)$ de $E^2$ on a : $f(\lambda x,y)=\lambda f(x,y)$ ( ce résultat provient de la continuité de $f$ ).

Montrer que pour tout $(u,v,w)$ de $E^3$ , $f(u,w)+f(v,w)=f(u+v,w)$ .

Montrer que $f$ est bilinéaire.

Montrer que $||\;||$ est une norme euclidienne.

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