Soient \(\Kk\) un sous-corps de \(\Cc\) et \(E\) un \(\Kk\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\).
1
Montrer que, pour tout endomorphisme \(f\) de \(\Rr^2\), on a :
\((\mbox{Ker}f=\mbox{Im}f)\Leftrightarrow(f^2=0\;\mbox{et}\;n=2\mbox{rg}f)\Leftrightarrow(f^2=0\;\mbox{et}\; \exists g\in\mathcal{L}(E)/\;f\circ g+g\circ f=Id_E)\).
2
On suppose \(\mbox{Ker}f=\mbox{Im}f\). Montrer qu’il existe une base \((u_1,...,u_p,v_1,...,v_p)\) de \(E\) telle que :
\(\forall i\in\{1,...,p\},\;f(u_i)=0\;\mbox{et}\;f(v_i)=u_i\).