L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 5191

Soient K\Kk un sous-corps de C\Cc et EE un K\Kk-espace vectoriel de dimension finie nn.

1

Montrer que, pour tout endomorphisme ff de R2\Rr^2, on a :

(Kerf=Imf)⇔(f2=0  et  n=2rgf)⇔(f2=0  et  ∃g∈L(E)/  f∘g+g∘f=IdE)(\mbox{Ker}f=\mbox{Im}f)\Leftrightarrow(f^2=0\;\mbox{et}\;n=2\mbox{rg}f)\Leftrightarrow(f^2=0\;\mbox{et}\; \exists g\in\mathcal{L}(E)/\;f\circ g+g\circ f=Id_E).

2

On suppose Kerf=Imf\mbox{Ker}f=\mbox{Im}f. Montrer qu’il existe une base (u1,...,up,v1,...,vp)(u_1,...,u_p,v_1,...,v_p) de EE telle que :

∀i∈{1,...,p},  f(ui)=0  et  f(vi)=ui\forall i\in\{1,...,p\},\;f(u_i)=0\;\mbox{et}\;f(v_i)=u_i.

Exercice nuan

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?