On se propose d’intégrer sur l’intervalle le plus grand possible contenu dans \(]0, \infty[\) l’équation différentielle :
\[(E) \ \ \ \ \ \ \ y'(x)- \frac{y(x)}{x}-y(x)^2=-9x^2.\]
1
Déterminer \(a \in ]0, \infty[\) tel que \(y(x)=ax\) soit une solution particulière \(y_0\) de \((E)\).
2
Montrer que le changement de fonction inconnue : \(y(x) = y_0(x)-\frac{1}{z(x)}\) transforme l’équation (E) en l’équation différentielle \[(E_1) \ \ \ \ \ \ \ z'(x) + (6x+ \frac{1}{x})z(x) =1.\]
3
Intégrer \((E_1)\) sur \(]0,\infty[\).
4
Donner toutes les solutions de \((E)\) définies sur \(]0,\infty[\).