Soit $A>0$ . Soit $\begin{array}{cccc} \Phi~:&[-A,A]\times[0,1]&\rightarrow&\Rr\\ &(x,t)&\mapsto&\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} \end{array}$ .

Pour chaque $x$ de $[-A,A]$ , la fonction $t\mapsto F(x,t)$ est continue sur le segment $[0,1]$ et donc intégrable sur ce segment.

La fonction $\Phi$ admet sur $[-A,A]\times[0,1]$ une dérivée partielle par rapport à sa première variable $x$ définie par :

$\forall(x,t)\in[-A,A]\times[0,1]$ , $\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)=-2xe^{-x^2(1+t^2)}$ .

De plus,

- pour chaque $x\in[-A,A]$ , la fonction $t\mapsto \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur le segment $[0,1]$ ,

- pour chaque $t\in[0,1]$ , la fonction $x\mapsto \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $\Rr$ ,

- pour chaque $(x,t)\in[-A,A]\times[0,1]$ , $\left|\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\right|\leqslant 2A=\varphi(t)$ , la fonction $\varphi$ étant continue et donc intégrable sur le

segment $[0,1]$ .

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de Leibniz), la fonction $F$ est de classe $C^1$ sur $[-A,A]$ et sa dérivée s’obtient en dérivant sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout $A>0$ , $F$ est de classe $C^1$ sur $\Rr$ et

$\forall x\in\Rr$ , $F'(x)=-2x\int_{0}^{1}e^{-x^2(1+t^2)}\;dt$ .

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