Soit \(A>0\). Soit \(\begin{array}[t]{cccc} \Phi~:&[-A,A]\times[0,1]&\rightarrow&\Rr\\ &(x,t)&\mapsto&\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} \end{array}\).

Pour chaque \(x\) de \([-A,A]\), la fonction \(t\mapsto F(x,t)\) est continue sur le segment \([0,1]\) et donc intégrable sur ce segment.

La fonction \(\Phi\) admet sur \([-A,A]\times[0,1]\) une dérivée partielle par rapport à sa première variable \(x\) définie par :

\(\forall(x,t)\in[-A,A]\times[0,1]\), \(\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)=-2xe^{-x^2(1+t^2)}\).

De plus,

- pour chaque \(x\in[-A,A]\), la fonction \(t\mapsto \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\) est continue par morceaux sur le segment \([0,1]\),

- pour chaque \(t\in[0,1]\), la fonction \(x\mapsto \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\) est continue par morceaux sur \(\Rr\),

- pour chaque \((x,t)\in[-A,A]\times[0,1]\), \(\left|\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\right|\leqslant 2A=\varphi(t)\), la fonction \(\varphi\) étant continue et donc intégrable sur le

segment \([0,1]\).

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de Leibniz), la fonction \(F\) est de classe \(C^1\) sur \([-A,A]\) et sa dérivée s’obtient en dérivant sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout \(A>0\), \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) et

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