Oui pour \(\pm\mathrm{id}_{\R^n}\), non pour les autres (les symétries non triviales).

\(\mathrm{id}_{\R^n}\) est isolé car si \(u\ne\mathrm{id}_{\R^n}\) et \(u^2=\mathrm{id}_{\R^n}\) alors \(-1\) est valeur propre de \(u\) et \(\|u-\mathrm{id}_{\R^n}\|\ge 2\). De même pour \(-\mathrm{id}_{\R^n}\).

Si \(u\) est une symétrie non triviale, soit \((e_1,\dots,e_n)\) une base propre de \(u\) avec \(u(e_1)=e_1\) et \(u(e_2)=-e_2\). Pour \(p\in\N^*\) soit \(u_p\in\mathcal{L}(\R^n)\) définie par \(u_p(e_1)=e_1+e_2/p\) et \(u_p(e_i)=u(e_i)\) pour \(i\ge 2\). On a \(u_p^2=\mathrm{id}_{\R^n}\), \(u_p\ne u\) et \(u_p\xrightarrow[p\to\infty]{}u\).

exo7 4784