\(X^3-3=(X-3^{1/3})(X^2+3^{1/3}X+3^{2/3})\) où \(X^2+3^{1/3}X+3^{2/3}\) est irréductible sur \(\R\). On cherche ses racines complexes pour obtenir la factorisation sur \(\Cc\) : \[X^3-3=(X-3^{1/3})(X+\frac{1}{2}3^{1/3}-\frac{i}{2}3^{5/6})(X+\frac{1}{2}3^{1/3}+\frac{i}{2}3^{5/6})\] Passons à \(X^{12}-1\). \(z=re^{i\theta}\) vérifie \(z^{12}=1\) si et seulement si \(r=1\) et \(12\theta\equiv 0 [2\pi]\), on obtient donc comme racines complexes les \(e^{ik\pi/6}\) (\(k=0,\ldots,11\)), parmi lesquelles il y en a deux réelles (\(-1\) et \(1\)) et cinq couples de racines complexes conjuguées (\(e^{i\pi/6}\) et \(e^{11i\pi/6}\), \(e^{2i\pi/6}\) et \(e^{10i\pi/6}\), \(e^{3i\pi/6}\) et \(e^{9i\pi/6}\), \(e^{4i\pi/6}\) et \(e^{8i\pi/6}\), \(e^{5i\pi/6}\) et \(e^{7i\pi/6}\)), d’où la factorisation sur \(\Cc[X]\): \[\begin{array}{rl} X^{12}-1=&(X-1)(X+1)(X-e^{i\pi/6})(X-e^{11i\pi/6})(X-e^{2i\pi/6})\\ & \ \ (X-e^{10i\pi/6})(X-e^{3i\pi/6})(X-e^{9i\pi/6})(X-e^{4i\pi/6})\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (X-e^{8i\pi/6})(X-e^{5i\pi/6})(X-e^{7i\pi/6}) \end{array}\] Comme \((X-e^{i\theta})(X-e^{-i\theta})=(X^2-2\cos(\theta)X+1)\), on en déduit la factorisation dans \(\Rr[X]\) : \[\begin{array}{rl} X^{12}-1&=(X-1)(X+1)(X^2-2\cos(\pi/6)X+1)\\ &\ \ \ (X^2-2\cos(2\pi/6)X+1)(X^2-2\cos(3\pi/6)X+1)\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (X^2-2\cos(4\pi/6)X+1)(X^2-2\cos(5\pi/6)X+1)\\ &=(X-1)(X+1)(X^2-\sqrt{3}X+1)\\ &\ \ \ \ \ \ (X^2-X+1)(X^2+1)(X^2+X+1)(X^2+\sqrt{3}X+1) \end{array}\] Pour \(X^6+1\), \(z=re^{i\theta}\) vérifie \(z^{6}=-1\) si et seulement si \(r=1\) et \(6\theta\equiv \pi [2\pi]\), on obtient donc comme racines complexes les \(e^{i(\pi+2k\pi)/6}\) (\(k=0,\ldots,5\)). D’où la factorisation dans \(\Cc[X]\) : \[\begin{array}{rl} X^6+1 &=(X-e^{i\pi/6})(X-e^{3i\pi/6})(X-e^{5i\pi/6})(X-e^{7i\pi/6})\\ &\ \ \ \ \ (X-e^{9i\pi/6})(X-e^{11i\pi/6}) \end{array}\] Pour obtenir la factorisation dans \(\Rr[X]\), on regroupe les paires de racines complexes conjuguées : \[X^6+1=(X^2+1)(X^2-\sqrt{3}X+1)(X^2+\sqrt{3}X+1)\] \(X^9+X^6+X^3+1=P(X^3)\) où \(P(X)=X^3+X^2+X+1=\frac{X^4-1}{X-1}\) : les racines de \(P\) sont donc les trois racines quatrièmes de l’unité différentes de \(1\) (\(i\), \(-i\), \(-1\)) et \[\begin{array}{rcl} X^9+X^6+X^3+1&=&P(X^3)\\ &=&(X^3+1)(X^3-i)(X^3+i)\\ &=&(X^3+1)(X^6+1) \end{array}\] On sait déjà factoriser \(X^6+1\), il reste donc à factoriser le polynôme \(X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)\), où \(X^2-X+1\) n’a pas de racine réelle. Donc \[\begin{array}{rl} X^9+X^6+X^3+1&=(X+1)(X^2-X+1)(X^2+1)\\ & \ \ \ \ \ (X^2-\sqrt{3}X+1)(X^2+\sqrt{3}X+1) \end{array}\] Pour la factorisation sur \(\Cc\) : les racines de \(X^2-X+1\) sont \(e^{i\pi/3}\) et \(e^{5i\pi/3}\), ce qui donne \[\begin{array}{rl} X^9+X^6+X^3+1&=(X+1)(X-e^{i\pi/3})(X-e^{5i\pi/3})\\ &\ \ \ (X-e^{i\pi/6})(X-e^{3i\pi/6})(X-e^{5i\pi/6})\\ &\ \ \ (X-e^{7i\pi/6})(X-e^{9i\pi/6})(X-e^{11i\pi/6}) \end{array}\]

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