$X^3-3=(X-3^{1/3})(X^2+3^{1/3}X+3^{2/3})$ où $X^2+3^{1/3}X+3^{2/3}$ est irréductible sur $\R$ . On cherche ses racines complexes pour obtenir la factorisation sur $\Cc$ : $X^3-3=(X-3^{1/3})(X+\frac{1}{2}3^{1/3}-\frac{i}{2}3^{5/6})(X+\frac{1}{2}3^{1/3}+\frac{i}{2}3^{5/6})$ Passons à $X^{12}-1$ . $z=re^{i\theta}$ vérifie $z^{12}=1$ si et seulement si $r=1$ et $12\theta\equiv 0 [2\pi]$ , on obtient donc comme racines complexes les $e^{ik\pi/6}$ ( $k=0,\ldots,11$ ), parmi lesquelles il y en a deux réelles ( $-1$ et $1$ ) et cinq couples de racines complexes conjuguées ( $e^{i\pi/6}$ et $e^{11i\pi/6}$ , $e^{2i\pi/6}$ et $e^{10i\pi/6}$ , $e^{3i\pi/6}$ et $e^{9i\pi/6}$ , $e^{4i\pi/6}$ et $e^{8i\pi/6}$ , $e^{5i\pi/6}$ et $e^{7i\pi/6}$ ), d’où la factorisation sur $\Cc[X]$ : $\begin{array}{rl} X^{12}-1=&(X-1)(X+1)(X-e^{i\pi/6})(X-e^{11i\pi/6})(X-e^{2i\pi/6})\\ & \ \ (X-e^{10i\pi/6})(X-e^{3i\pi/6})(X-e^{9i\pi/6})(X-e^{4i\pi/6})\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (X-e^{8i\pi/6})(X-e^{5i\pi/6})(X-e^{7i\pi/6}) \end{array}$ Comme $(X-e^{i\theta})(X-e^{-i\theta})=(X^2-2\cos(\theta)X+1)$ , on en déduit la factorisation dans $\Rr[X]$ : $\begin{array}{rl} X^{12}-1&=(X-1)(X+1)(X^2-2\cos(\pi/6)X+1)\\ &\ \ \ (X^2-2\cos(2\pi/6)X+1)(X^2-2\cos(3\pi/6)X+1)\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (X^2-2\cos(4\pi/6)X+1)(X^2-2\cos(5\pi/6)X+1)\\ &=(X-1)(X+1)(X^2-\sqrt{3}X+1)\\ &\ \ \ \ \ \ (X^2-X+1)(X^2+1)(X^2+X+1)(X^2+\sqrt{3}X+1) \end{array}$ Pour $X^6+1$ , $z=re^{i\theta}$ vérifie $z^{6}=-1$ si et seulement si $r=1$ et $6\theta\equiv \pi [2\pi]$ , on obtient donc comme racines complexes les $e^{i(\pi+2k\pi)/6}$ ( $k=0,\ldots,5$ ). D’où la factorisation dans $\Cc[X]$ : $\begin{array}{rl} X^6+1 &=(X-e^{i\pi/6})(X-e^{3i\pi/6})(X-e^{5i\pi/6})(X-e^{7i\pi/6})\\ &\ \ \ \ \ (X-e^{9i\pi/6})(X-e^{11i\pi/6}) \end{array}$ Pour obtenir la factorisation dans $\Rr[X]$ , on regroupe les paires de racines complexes conjuguées : $X^6+1=(X^2+1)(X^2-\sqrt{3}X+1)(X^2+\sqrt{3}X+1)$ $X^9+X^6+X^3+1=P(X^3)$ où $P(X)=X^3+X^2+X+1=\frac{X^4-1}{X-1}$ : les racines de $P$ sont donc les trois racines quatrièmes de l’unité différentes de $1$ ( $i$ , $-i$ , $-1$ ) et $\begin{array}{rcl} X^9+X^6+X^3+1&=&P(X^3)\\ &=&(X^3+1)(X^3-i)(X^3+i)\\ &=&(X^3+1)(X^6+1) \end{array}$ On sait déjà factoriser $X^6+1$ , il reste donc à factoriser le polynôme $X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)$ , où $X^2-X+1$ n’a pas de racine réelle. Donc $\begin{array}{rl} X^9+X^6+X^3+1&=(X+1)(X^2-X+1)(X^2+1)\\ & \ \ \ \ \ (X^2-\sqrt{3}X+1)(X^2+\sqrt{3}X+1) \end{array}$ Pour la factorisation sur $\Cc$ : les racines de $X^2-X+1$ sont $e^{i\pi/3}$ et $e^{5i\pi/3}$ , ce qui donne $\begin{array}{rl} X^9+X^6+X^3+1&=(X+1)(X-e^{i\pi/3})(X-e^{5i\pi/3})\\ &\ \ \ (X-e^{i\pi/6})(X-e^{3i\pi/6})(X-e^{5i\pi/6})\\ &\ \ \ (X-e^{7i\pi/6})(X-e^{9i\pi/6})(X-e^{11i\pi/6}) \end{array}$

exo7 6959