Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr\) l’application \(x=(x_1,x_2) \mapsto \|x\|_1=|x_1|+ |x_2|\). Est-ce qu’elle est différentiable?
Considérons maintenant \(l^1\) l’espace des suites réelles muni de la norme \(\|x\|_1=\sum_{j=1}^\infty |x_j|\).
1
Montrer que pour toute forme linéaire continue \(L\) sur \(l^1\) il existe une suite bornée \(\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,....)\) telle que \[L(x) =\sum _{j=1}^\infty \alpha _j x_j \;\; .\]
2
Montrer que la norme \(\|.\|_1 : l^1 \to \Rr\) n’est pas différentiable en aucun point de \(l^1\) (raisonner par l’absurde en utilisant (1.)).