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Soit $f:\Rr^2 \to \Rr$ l’application $x=(x_1,x_2) \mapsto \|x\|_1=|x_1|+ |x_2|$ . Est-ce qu’elle est différentiable?

Considérons maintenant $l^1$ l’espace des suites réelles muni de la norme $\|x\|_1=\sum_{j=1}^\infty |x_j|$ .

Montrer que pour toute forme linéaire continue $L$ sur $l^1$ il existe une suite bornée $\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,....)$ telle que $L(x) =\sum _{j=1}^\infty \alpha _j x_j \;\; .$

Montrer que la norme $\|.\|_1 : l^1 \to \Rr$ n’est pas différentiable en aucun point de $l^1$ (raisonner par l’absurde en utilisant (1.)).

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