Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\). On pose \(K = \mathrm{Ker} f\), \(I = \Im f\), \({\cal K} = \{ g \in \mathcal{L}(E) \text{ tq } f\circ g = 0 \}\) et \({\cal I} = \{ g \in \mathcal{L}(E) \text{ tq } g\circ f = 0 \}\).
1
Montrer que \({\cal K}\) et \({\cal I}\) sont des sev de \(\mathcal{L}(E)\).
2
Soit \(g \in \mathcal{L}(E)\). Montrer que : \(g \in {\cal K} \iff \Im g \subset K\), et : \(g \in {\cal I} \iff \mathrm{Ker} g \supset I\).
3
Montrer que l’ application \(\Phi : {{\cal K}} \to {\mathcal{L}({E,K})}, g \mapsto {g^{|K}}\) est un isomorphisme d’ev. En déduire \(\dim {\cal K}\).
4
Chercher de même \(\dim {\cal I}\) en introduisant un supplémentaire \(I'\) de \(I\).
5
Chercher aussi \(\dim({\cal K} \cap {\cal I})\).