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$f$ est-elle injective ? surjective ?

Soient $a$, $b$, $\alpha$ et $\beta$ quatre réels. Montrer qu’il existe $(c,\gamma)\in\Rr^2$ tel que :  $\forall x\in\Rr,\;a\cos(x-\alpha)+b\cos(x-\beta)=c\cos(x-\gamma)$.

Soit $E$ le $\Rr$-espace vectoriel des applications de $\Rr$ dans $\Rr$. Soit $F=\{u\in E/\;\exists(a,b,\alpha,\beta)\in\Rr^4\;\mbox{tel que}\;\forall x\in\Rr,\;u(x)=a\cos(x-\alpha)+b\cos(2x-\beta)\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Déterminer $\{\cos x,\sin x,\cos(2x),\sin(2x),1,\cos^2x,\sin^2x\}\cap F$.

Montrer que $(\cos x,\sin x,\cos(2x),\sin(2x))$ est une famille libre de $F$.