Soit \(\begin{array}[t]{cccc} f~:&[0,+\infty[\times[0,2\pi[&\rightarrow&\Rr^2\\ &(x,y)&\mapsto&(x\cos y,x\sin y) \end{array}\).
\(f\) est-elle injective ? surjective ?
Soient \(a\), \(b\), \(\alpha\) et \(\beta\) quatre réels. Montrer qu’il existe \((c,\gamma)\in\Rr^2\) tel que : \(\forall x\in\Rr,\;a\cos(x-\alpha)+b\cos(x-\beta)=c\cos(x-\gamma)\).
Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des applications de \(\Rr\) dans \(\Rr\). Soit \(F=\{u\in E/\;\exists(a,b,\alpha,\beta)\in\Rr^4\;\mbox{tel que}\;\forall x\in\Rr,\;u(x)=a\cos(x-\alpha)+b\cos(2x-\beta)\}\). Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Déterminer \(\{\cos x,\sin x,\cos(2x),\sin(2x),1,\cos^2x,\sin^2x\}\cap F\).
Montrer que \((\cos x,\sin x,\cos(2x),\sin(2x))\) est une famille libre de \(F\).