L1 Analyse Calcul d'intégrales Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa BCPST 3 questions

exo7 4290

Soit f:R+→Rf : {\R^+} \to \R. On pose, sous réserve de convergence, g(t)=∑n=0∞f(nt)g(t) = \sum_{n=0}^\infty f(nt) pour t>0t>0.

1

Si ff est monotone et intégrable, montrer que g(t)g(t) existe pour tout t>0t>0 et que l’on a tg(t)→∫u=0+∞f(u) du\smash{tg(t)\to \int_{u=0}^{+\infty} f(u)\,d u} lorsque t→0+t\to0^+.

2

Même question en supposant ff de classe C1\mathcal{C}^1 et ff,f′f' intégrables.

3

On suppose maintenant ff de classe C2\mathcal{C}^2 et ff, f′f', f′′f'' intégrables.

Montrer que g(t)=1t∫u=0+∞f(u) du+f(0)2+Ot→0+(t)g(t) = \frac1t \int_{u=0}^{+\infty} f(u)\,d u + \frac{f(0)}2 + O_{t\to0^+}(t).

Exercice sw3M

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