Soit \(f : {\R^+} \to \R\). On pose, sous réserve de convergence, \(g(t) = \sum_{n=0}^\infty f(nt)\) pour \(t>0\).
1
Si \(f\) est monotone et intégrable, montrer que \(g(t)\) existe pour tout \(t>0\) et que l’on a \(\smash{tg(t)\to \int_{u=0}^{+\infty} f(u)\,d u}\) lorsque \(t\to0^+\).
2
Même question en supposant \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(f\),\(f'\) intégrables.
3
On suppose maintenant \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) et \(f\), \(f'\), \(f''\) intégrables.
Montrer que \(g(t) = \frac1t \int_{u=0}^{+\infty} f(u)\,d u + \frac{f(0)}2 + O_{t\to0^+}(t)\).