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Soit $(X,d)$ un espace métrique, $A$ et $B$ deux parties de $X$ . On pose $d(A,B)=\inf_{a\in A, b\in B} d(a,b)$ .

Si $A$ et $B$ sont disjointes, l’une compacte et l’autre fermée, montrer que $d(A,B)>0$ .

Montrer, par un contre-exemple, que ceci peut être faux si les deux parties sont seulement fermées.