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(Somme amalgammée d’ensembles. Cet exercice utilise la notion de coégalisateur.) Soient $A$, $B$ et $C$ des ensembles et $f : C\to A$, $g : C\to B$ des applications.

Soit $A\coprod B$ l’union disjointe de $A$ et $B$ et $i_A$ et $i_B$ les injections canoniques de $A$ et $B$ dans $A\coprod B$.

Les deux applications $i_A \circ f$ et $i_B \circ g$ vont toutes deux de $C$ dans $A\coprod B$. Leur coégalisateur est appelé la somme amalgamée de $A$ et $B$ sous $C$, est noté $A\coprod_C B$. La surjection canonique $A\coprod B \to A\coprod_C B$ est notée $\pi$ et on note $j_A = \pi \circ i_A$ et $j_B = \pi \circ i_B$.

Montrer que $A\coprod_C B$ vérifie la propriété universelle suivante:

Pour tout ensemble $D$ muni d’applications $\phi : A\to D$ et $\psi : B\to D$, il existe une unique application $h : A\coprod_C B \to D$ telle que $\phi = h\circ j_A$ et $\psi = h\circ j_B$.