(Somme amalgammée d’ensembles. Cet exercice utilise la notion de coégalisateur.) Soient \(A\), \(B\) et \(C\) des ensembles et \(f : C\to A\), \(g : C\to B\) des applications.
Soit \(A\coprod B\) l’union disjointe de \(A\) et \(B\) et \(i_A\) et \(i_B\) les injections canoniques de \(A\) et \(B\) dans \(A\coprod B\).
Les deux applications \(i_A \circ f\) et \(i_B \circ g\) vont toutes deux de \(C\) dans \(A\coprod B\). Leur coégalisateur est appelé la somme amalgamée de \(A\) et \(B\) sous \(C\), est noté \(A\coprod_C B\). La surjection canonique \(A\coprod B \to A\coprod_C B\) est notée \(\pi\) et on note \(j_A = \pi \circ i_A\) et \(j_B = \pi \circ i_B\).
Montrer que \(A\coprod_C B\) vérifie la propriété universelle suivante:
Pour tout ensemble \(D\) muni d’applications \(\phi : A\to D\) et \(\psi : B\to D\), il existe une unique application \(h : A\coprod_C B \to D\) telle que \(\phi = h\circ j_A\) et \(\psi = h\circ j_B\).