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Soit \(E\) l’ensemble des suites réelles \((u_n)_{n \ge 0}\). Pour tout \(k \in \N\), on note \(\delta_k\) l’élément de \(E\) dont les coordonnées sont toutes nulles, sauf \(\delta_{k,k} = 1\). Montrer que la famille infinie \({\cal B} = \{\delta_k\}_{k \in \N}\) est libre (en ce sens que toute sous-famille finie est libre). Soit \(E_0\) le sous-ensemble des suites qui convergent vers zéro. Montrer que c’est un sous-espace vectoriel de \(E\). Montrer que \(\cal B\) est aussi une famille libre de \(E_0\).