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Montrer que $p$ est un produit scalaire sur $E$, et que $u \mapsto \sqrt{p(u,u)}$ est une norme sur $E$.

Soit $E_2 \subset E$ le sous-espace des polynômes de degré $\leq 2$, et $u\in E$ défini par $u(t) = t^4$. Déterminer la projection orthogonale $u_0$ de $u$ sur $E_2$. En déduire la valeur de $$\inf_{(a,b,c)\in \R^3} \int_{-1}^1 (t^4 -at^2-bt -c)^2 \,d t.$$