Soit \(E=\R[X]\) l’espace des polynômes à coefficients réels. On définit \(p : E\times E\to \R\) par \[p(u, v) = \int_{-1}^1 u(t) v(t)\,d t.\]
1
Montrer que \(p\) est un produit scalaire sur \(E\), et que \(u \mapsto \sqrt{p(u,u)}\) est une norme sur \(E\).
2
Soit \(E_2 \subset E\) le sous-espace des polynômes de degré \(\leq 2\), et \(u\in E\) défini par \(u(t) = t^4\). Déterminer la projection orthogonale \(u_0\) de \(u\) sur \(E_2\). En déduire la valeur de \[\inf_{(a,b,c)\in \R^3} \int_{-1}^1 (t^4 -at^2-bt -c)^2 \,d t.\]