On choisit un repère orthonormé dans lequel $A$ a pour coordonnées $(R,0)$ et $(\mathcal{C})$ a pour représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l} x=R\cos t\\ y=R\sin t \end{array} \right.$ , $t\in\Rr$ . Soit $P(R\cos t,R\sin t)$ un point de $(\mathcal{C})$ . La tangente $(D)$ à $(\mathcal{C})$ en $A$ est la droite d’équation $x=R$ et la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ en $P$ est la droite d’équation $x\cos t+y\sin t=R$ . Quand $(D)$ , $(T)$ recoupe $(D)$ en le point $S$ de coordonnées $\left(R,R\frac{1-\cos t}{\sin t}\right)$ ou encore $\left(R,R\tan\left(\frac{t}{2}\right)\right)$ .

Une équation de la droite $(BS)$ est $-\tan\left(\frac{t}{2}\right)(x+R)+2y=0$ . L’abscisse de $M$ est $R\cos t$ et donc

$y_M=\frac{1}{2}\tan\left(\frac{t}{2}\right)(x_M+R)=\frac{1}{2}R\tan\left(\frac{t}{2}\right)(\cos t+1)=R\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{1}{2}R\sin t$ .

L’ensemble des points $M$ est donc le support de l’arc $\left\{ \begin{array}{l} x=R\cos t\\ y=\frac{1}{2}R\sin t \end{array} \right.$ , $t\in\Rr$ . C’est l’image du cercle $\mathcal{C}$ dans l’affinité de base $(AB)$ , de direction $(D)$ et de rapport $\frac{1}{2}$ et donc une ellipse de grand axe $[AB]$ .

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