On choisit un repère orthonormé dans lequel \(A\) a pour coordonnées \((R,0)\) et \((\mathcal{C})\) a pour représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{l} x=R\cos t\\ y=R\sin t \end{array} \right.\), \(t\in\Rr\). Soit \(P(R\cos t,R\sin t)\) un point de \((\mathcal{C})\). La tangente \((D)\) à \((\mathcal{C})\) en \(A\) est la droite d’équation \(x=R\) et la tangente \((T)\) à \((\mathcal{C})\) en \(P\) est la droite d’équation \(x\cos t+y\sin t=R\). Quand \(t\notin\pi\Zz\), \((T)\) recoupe \((D)\) en le point \(S\) de coordonnées \(\left(R,R\frac{1-\cos t}{\sin t}\right)\) ou encore \(\left(R,R\tan\left(\frac{t}{2}\right)\right)\).

Une équation de la droite \((BS)\) est \(-\tan\left(\frac{t}{2}\right)(x+R)+2y=0\). L’abscisse de \(M\) est \(R\cos t\) et donc

\(y_M=\frac{1}{2}\tan\left(\frac{t}{2}\right)(x_M+R)=\frac{1}{2}R\tan\left(\frac{t}{2}\right)(\cos t+1)=R\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{t}{2}\right)=\frac{1}{2}R\sin t\).

L’ensemble des points \(M\) est donc le support de l’arc \(\left\{ \begin{array}{l} x=R\cos t\\ y=\frac{1}{2}R\sin t \end{array} \right.\), \(t\in\Rr\). C’est l’image du cercle \(\mathcal{C}\) dans l’affinité de base \((AB)\), de direction \((D)\) et de rapport \(\frac{1}{2}\) et donc une ellipse de grand axe \([AB]\).

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