Montrons que si \(\phi\) est un isomorphisme, l’image de toute base de \(E\) est une base de \(F\) : soit \(\mathcal{B} =\{ e_1, \ldots , e_n \}\) une base de \(E\) et nommons \(\mathcal{B} '\) la famille \(\{ \phi (e_1), \ldots , \phi (e_n) \}\). \(\mathcal{B} '\) est libre. Soient en effet \(\lambda _1 , \ldots , \lambda _n\in {\R}\) tels que \(\lambda _1\phi (e_1)+ \cdots + \lambda _n \phi (e_n) =0\). Alors \(\phi (\lambda _1e_1+ \cdots + \lambda _ne_n) =0\) donc, comme \(\phi\) est injective, \(\lambda _1e_1+ \cdots + \lambda _ne_n=0\) puis, comme \(\mathcal{B}\) est libre, \(\lambda _1=\cdots =\lambda _n=0\). \(\mathcal{B} '\) est génératrice. Soit \(y\in F\). Comme \(\phi\) est surjective, il existe \(x\in E\) tel que \(y=\phi (x)\). Comme \(\mathcal{B}\) est génératrice, on peut choisir \(\lambda _1 , \cdots , \lambda _n\in {\R}\) tels que \(x=\lambda _1 e_1 +\cdots + \lambda _n e_n\). Alors \(y=\lambda _1\phi (e_1)+ \cdots + \lambda _n \phi (e_n)\).

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