Montrons que si $\phi$ est un isomorphisme, l’image de toute base de $E$ est une base de $F$ : soit $\mathcal{B} =\{ e_1, \ldots , e_n \}$ une base de $E$ et nommons $\mathcal{B} '$ la famille $\{ \phi (e_1), \ldots , \phi (e_n) \}$ . $\phi$ est libre. Soient en effet $\lambda _1 , \ldots , \lambda _n\in {\R}$ tels que $\lambda _1\phi (e_1)+ \cdots + \lambda _n \phi (e_n) =0$ . Alors $\phi (\lambda _1e_1+ \cdots + \lambda _ne_n) =0$ donc, comme $\phi$ est injective, $\lambda _1e_1+ \cdots + \lambda _ne_n=0$ puis, comme $\mathcal{B}$ est libre, $\lambda _1=\cdots =\lambda _n=0$ . $\mathcal{B} '$ est génératrice. Soit $y\in F$ . Comme $\phi$ est surjective, il existe $x\in E$ tel que $y=\phi (x)$ . Comme $\mathcal{B}$ est génératrice, on peut choisir $\lambda _1 , \cdots , \lambda _n\in {\R}$ tels que $x=\lambda _1 e_1 +\cdots + \lambda _n e_n$ . Alors $y=\lambda _1\phi (e_1)+ \cdots + \lambda _n \phi (e_n)$ .

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